Twierdzenie o liczbach pierwszych

Wypisaliśmy wszystkie liczby całkowite w spirali. Liczby pierwsze zaznaczyliśmy na niebiesko. Złożone są na czarnym tle. Można zadać ciekawe pytanie: „Ile jest liczb pierwszych w stosunku do złożonych?”. Najpierw spójrzmy z większej odległości. Koloru liczb pierwszych jest więcej pośrodku, stopniowo go ubywa, ale wydaje się, że on nigdy nie zniknie. Lubię o tym myśleć tak: pośrodku rośnie nieskończenie wysokie drzewo. Spadające z niego liście to liczby pierwsze. Nieprzewidywalnie rozproszone na ziemi. Przy pniu jest gęsto. Odchodząc od niego, znajdujemy mniej liści, ale jakieś zawsze są. Tak samo dzieje się, gdy patrzymy na rosnące liczby całkowite. Zawsze znajdujemy liczby pierwsze, ale stopniowo ich liczba maleje, im dalej patrzymy. Wróćmy do pytania. Ile jest liczb pierwszych mniejszych od danego całkowitego x? Jeśli sporządzimy tabelę, zobaczymy, że liczb pierwszych stale przybywa. Chociaż, gdy szukamy dalej, znajdujemy ich coraz mniej. Zaznaczmy na osi pionowej ilość znajdowanych liczb pierwszych, a obszar poszukiwań, x, na osi poziomej. Cofamy się, żeby zobaczyć miliardy liczb. Krzywa nigdy nie staje się płaska. Zawsze się wznosi, chociaż stopniowo. Najpierw pomyślmy o gęstości liczb pierwszych mniejszych od danego całkowitego x. Wyznaczymy tę gęstość, dzieląc ilość znalezionych liczb przez wielkość obszaru poszukiwań. W pierwszej setce liczb całkowitych jest 25 liczb pierwszych: 25%. W pierwszych 10 000 liczb całkowitych znajdujemy 1229 liczb pierwszych, czyli 12,29%. W pierwszym milionie liczb całkowitych 7,84% to liczby pierwsze. A pierwsze 100 mln liczb całkowitych zawiera 5,76% liczb pierwszych. Szukamy dalej, a gęstość nadal spada, chociaż prędkość tego opadania zmniejsza się. Obszar poszukiwań jest na osi poziomej, gęstość liczb pierwszych - na pionowej. Liczb pierwszych jest coraz mniej w stosunku do wszystkich liczb naturalnych. Co zdumiewające, znajdujemy ten wzór w przyrodzie. W galaktykach, układzie burz, kwiatach, a nawet w naszych organizmach, bo to projekt najmniejszego oporu, znany jako spirala logarytmiczna. Zwróćcie uwagę, że spirala coraz bardziej oddala się od środka. Niesłychane: prędkość obrotu spirali logarytmicznej do gęstości liczb pierwszych odnosi się następująco: mamy liczbę obrotów, nazwijmy ją φ. A odległość od środka niech nazywa się r. Jeśli zrobimy wykres φ w zależności od r i spojrzymy z daleka, zobaczymy, że jest związek zgodnie z logarytmem naturalnym. To oznacza, że logarytm naturalny odległości ma związek z liczbą obrotów. Wykres logarytmu naturalnego zwykle sporządzamy z pomocą zmiennych y i x, gdzie y równa się ln(x). Zauważcie, że wykres kształtuje się tak samo: gęstość liczb pierwszych stopniowo maleje. Ostatni krok: odwrócić to wyrażenie. Niech na na osi Y będzie „1 podzielić przez ln(x)”. Patrząc z perspektywy, zobaczymy taką samą krzywą wygenerowaną z nałożenia gęstości liczb pierwszych. Potwierdźmy to, nakładając wykresy na siebie. Na zielono – wykres y równa się 1 przez ln(x) Na czerwono – wykres gęstości liczb pierwszych aż do x. Cofając się, widzimy, że zbliżają się do siebie. Im dalej, tym dokładniejsze stają się zielone wartości szacunkowe. Jest to znane jako asymptotyczne prawo rozmieszczenia liczb pierwszych. Teraz mamy wzór, który dokładnie poda nam gęstość liczb pierwszych, bez obliczania. Gęstość liczb pierwszych aż do danej liczby całkowitej x to, w przybliżeniu, 1 przez ln(x). Chcecie wyznaczyć gęstość liczb pierwszych między 1 a 100 bilionów. Proste. 1 podzielić przez logarytm naturalny ze stu bilionów to 3,1%. Porównajcie to z rzeczywistym wynikiem liczenia wszystkich liczb pierwszych, czyli 3,2%. Różnica wynosi 0,1%. Gdy sprawdzamy coraz większe liczby, różnica zbliża się do zera. Możemy użyć tego wzoru na gęstość liczb pierwszych, by oszacować ich liczbę do x. Liczba liczb pierwszych do x to x pomnożone przez gęstość, albo x podzielić przez ln (x). To jest twierdzenie o liczbach pierwszych. Oto wykres y równa się x przez ln(x), na niebiesko, a na żółto zaznaczono rzeczywisty wynik liczenia liczb pierwszych. Cofając się, zauważmy, że w końcu wykresy nałożą się na siebie. I już. Mamy wzór, który mówi nam w przybliżeniu, ile jest liczb pierwszych do danej wartości, bez potrzeby liczenia. Np. mamy określić, ile jest liczb pierwszych mniejszych niż 100 bln. 100 bln dzielone przez logarytm naturalny ze stu bilionów równa się 3,1 bln. Porównajcie to z wynikiem liczenia: 3,2 bln. Dokładność przekracza 99,99%. nawet w tej stosunkowo małej skali. Podsumujmy: przy danym obszarze poszukiwań do liczby całkowitej x, gęstość liczb pierwszych to, około 1 przez ln(x). A ilość tych liczb to w przybliżeniu x podzielić przez ln(x). To jest twierdzenie o liczbach pierwszych.