Przystawanie modulo

Możesz spotkać się z wyrażeniem:
AB(mod C) A \equiv B (\text{mod } C)
To oznacza, że A A jest zbieżne do B B modulo C C .
Przedyskutujemy znaczenie przystawania modulo przeprowadzając następujący eksperyment myślowy z wykorzystaniem operacji dzielenia modulo.
Wyobraźmy sobie, że obliczamy modulo 5 dla wszystkich liczb całkowitych:
Załóżmy, że oznaczyliśmy 5 plastrów liczbami 0, 1, 2, 3, 4. Następnie każdą liczbę całkowitą, stawiamy na kawałek, który indeksuje reszta z dzielenia tej liczby przez 5.
Pomyśl, że plastry są jak kosze, które zawierają w sobie zbiory liczb. Na przykład, 26 włożymy do kawałka oznaczonego przez 1 ponieważ 26 mod 5=1 26 \text{ mod } 5 = \bf{1} .
Powyżej znajduje się rysunek przedstawiający niektóre z liczb, które możemy znaleźć w każdym z kawałków.
Przydałoby się nam pojęcie wyrażające fakt, że dane liczby całkowite należą do tego samego kawałka. (Zauważmy, że w powyższym przykładzie 26 znajduje się w tym samym kawałku, co 1, 16, 11, 16, 21).
Aby wyrazić, że dwie liczby znajdują się w tym samym kawałku, mówimy, że należą one do tej samej klasy równoważności.
Relację tą oznaczamy symbolicznie, dla operacji mod C, przez : AB (mod C) A \equiv B \ (\text{mod } C)
Powyższe wyrażenie wymawia się: A A jest przystające do B B modulo C C .
Przeanalizujmy dokładniej powyższe wyrażenie
  1. \equiv jest symbolem przystawania (kongruencji), który oznacza, że liczby A A i B B należą do tej samej klasy równoważności.
  2. (mod C) (\text{mod } C) mówi nam, jakie działanie zastosowaliśmy do A A i B B .
  3. mając dane jedno i drugie, nazywamy “ \equiv przystawaniem modulo C C .
np. 2611 (mod 5) 26 \equiv 11\ (\text{mod }5)
26 mod 5=1 26 \text{ mod } 5 = 1 więc jest to klasa równoważności z 1,
11 mod 5=1 11 \text{ mod } 5 = 1 również jest to klasa równoważności z 1.
Zauważ, że jest to różne od A mod C A \text{ mod } C : 2611 mod 5 26 \neq 11 \text { mod } 5 .

Uwagi dotyczące przystawania Modulo

Możemy zrozumieć lepiej znaczenie przystawania modulo powtarzając ten sam eksperyment myślowy, tyle że z inną dodatnią liczbą całkowitą C C .
Najpierw numerujemy C C kawałków, 0,1,2,,C2,C1 0,1,2, \ldots, C-2,C-1 .
Następnie, każdą liczbę całkowitą przyporządkowujemy przyporządkowujemy kawałkowi indeksowanego przez resztę z dzielenia tej liczby przez mod C \text{mod } C .
Poniżej znajdują się przykładowe przyporządkowania liczb do kolejnych kawałków.
Jeśli zajrzelibyśmy na kawałek indeksowany przez 0, znaleźlibyśmy:
,3C,2C,C,0,C,2C,3C, \ldots, -3C, -2C, -C, 0, C, 2C, 3C, \ldots
Jeśli zajrzymy do wiaderka oznakowanego 1, znajdziemy:
,13C,12C,1C,1,1+C,1+2C,1+3C, \ldots, 1-3C, 1-2C, 1-C, 1, 1+C, 1+2C, 1+3C, \ldots
Jeśli zajrzymy do wiaderka oznakowanego 2, znajdziemy:
,23C,22C,2C,2,2+C,2+2C,2+3C, \ldots, 2-3C, 2-2C, 2-C, 2, 2+C, 2+2C, 2+3C, \ldots
Jeśli zajrzymy do wiaderka C1 C - 1 ,znadziemy:
,2C1,C1,1,C1,2C1,3C1,4C1 \ldots, -2C-1, -C-1, -1, C-1, 2C - 1, 3C-1, 4C - 1 \ldots
W oparciu o ten eksperyment możemy sformułować następujące spostrzeżenie:
Wartości w każdym z kawałków równe są liczbie indeksującej kawałek, plus lub minus pewna wielokrotność C \bf{C} .
Oznacza to, że różnica dowolnych dwu wartości w danym kawałku jest pewną wielokrotnością C \bf{C}
Spostrzeżenie to pomoże nam następnie zrozumieć równoważne stwierdzenia i klasy równoważności.
Ładowanie