If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Relacje równoważności

Równoważne stwierdzenia

Przypomnijmy sobie najpierw następujące równoważne stwierdzenia
  • AB (mod C)
  • A mod C=B mod C
  • C | (AB) (symbol | oznacza "dzieli" albo "jest dzielnikiem" )
  • A=B+KC (gdzie K jest pewną liczbą całkowitą)
Możemy więc swobodnie przechodzić pomiędzy równoważnymi sposobami na wyrażenie tego samego faktu.
Dla przykładu następujące są równoważne:
  • 1323 (mod 5)
  • 13 mod 5=23 mod 5
  • 5 | (1323) ( 5 | 10, co jest prawdą, ponieważ 5(2)=10 )
  • 13=23+K5. Możemy spełnić to równanie dla K=2: 13=23+(2)5

Przystawanie modulo jest relacją równoważności

ciasto

Przekonaj się, że kawałki użyte w poprzednim przykładzie mają następujące własności:
  • Każda para liczb w danym kawałku pozostaje ze sobą w relacji
  • Nigdy nie znajdziemy danej liczby w więcej niż jednym kawałku (zbiory liczb znajdujące się w różnych kawałkach są ze sobą rozłączne)
  • Jeśli połączymy zbiory znajdujące się we wszystkich kawałkach dostaniemy "ciasto" zawierające wszystkie liczby
Ciasto z kawałkami spełniającymi powyższe własności nazywa się relacją równoważności .
Relacja równoważności określa jak kroimy nasze ciastko (albo jak dzielimy zbiór interesujących nas liczb na ( klasy równoważności ).
Relacje równoważności muszą mieć następujące własności:
  • Ciasto: zbiór wszystkich liczb, które nas interesują
  • Kawałek ciasta: klasa równoważności
  • Sposób pocięcia ciasta na kawałki: określa relację równoważności
W szczególności, w poprzednim przykładzie
  • Ciasto: zbiór iczb całkowitych
  • Kawałek ciasta oznaczony B: Klasa równoważności, w której wszystkie wartości spełniają mod C=B
  • Sposób pocięcia ciasta na kawałki: używając relacji przystawania modulo C, (mod C)
Z tego powodu mówimy, że Przystawanie modulo C jest relacją równoważności . Dzieli ona zbiór liczb całkowitych na C różnych klas równoważności.

Czemu dbamy o to, że przystawanie modulo jest relacją równoważności?

Wiedząc, że przystawanie modulo jest relacją równoważności, możemy wnioskować o pewnych własnościach, jakie musi ono posiadać.
Relacje równoważności to relacje, które mają następujące własności:
  • zwrotne: A jest w relacji z A
  • Jest symetryczne: jeśli A jest w relacji z B to B jest w relacji z A
  • przechodnie: jeśli A jest w relacji z B i B jest w relacji z C, to A jest w relacji z C
Ponieważ przystawanie modulo jest relacja równoważności, oznacza to, że:
  • AA (mod C)
  • Jeśli AB (mod C), to BA (mod C)
  • Jeśli AB (mod C) i BD (mod C) to AD (mod C)

Przykład

mod5
Zastosujmy te własności na konkretnym przykładzie, na przykład mod 5:
  • 33 (mod 5) (zwrotność)
  • if 38 (mod 5) then 83 (mod 5) (symetryczność)
  • if 38 (mod 5) and if 818 (mod 5) then 318 (mod 5) (przechodniość)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.