Zbadajmy właściwości dodawania dla arytmetyki modulo:

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

Przykład:

Niech A=14, B=17, C=5
Sprawdźmy, czy (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
  LSR = Lewa Strona Równania
  PSR = Prawa Strona Równania
LSR = (A + B) mod C
  LSR = (14 + 17) mod 5
  LSR = 31 mod 5
  LSR = 1
PSR = (A mod C + B mod C) mod C
  PSR = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
  PSR = (4 + 2) mod 5
  PSR = 1
LSR = PSR = 1

Intuicja stojąca za dodawaniem modulo

Popatrz na rysunek poniżej. Jeśli chcemy policzyć 12+9 mod 7 to idziemy wokół koła 12+9 kroków zgodnie ze wskazówkami zegara (tak jak zostało to pokazane na dolnym lewym rysunku).
mod
Drogę tą można skrócić, jeśli zaobserwuje się, że co każde 7 kroków wracamy do tej samej pozycji na kółku. Takie pełne okrążenia nie mają wpływu na naszą końcową pozycję. Możemy się ich pozbyć obliczając najpierw obie liczby modulo 7 (tak jako zostało to pokazane na dwóch górnych rysunkach). W wyniku tej operacji dostaniemy liczbę kroków, które, zaczynając od 0, musimy wykonać zgodnie z kierunkiem biegu wskazówek zegara.
Wynik tej procedury pokazany jest na prawym dolnym rysunku. Ta sama metoda stosuje się również dla dowolnej pary liczb całkowitych i dowolnego dzielnika C.

Dowód własności dodawania modulo

Udowodnimy, że (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
 . Musimy pokazać, że LSR =PSR
Z twierdzenia o reszcie możemy zapisać A i B jako:
A = C * Q1 + R1 gdzie 0 ≤ R1 < C i Q1 to jakaś liczba całkowita. A mod C = R1
  B = C * Q2 + R2 gdzie 0 ≤ R2 < C i Q2 to jakaś liczba całkowita. B mod C = R2
  (A + B) = C * (Q1 + Q2) + R1+R2
LSR = (A + B) mod C
  LSR = (C * (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
  Możemy wyeliminować wielokrotności C przez zastosowanie operacji modulo C
LSR = (R1 + R2) mod C
PSR = (A mod C + B mod C) mod C
  PSR = (R1 + R2) mod C
LSR=PSR= (R1 + R2) mod C

Odejmowanie modulo

Analogiczny dowód stosuje się w przypadku odejmowania modulo

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C

Ładowanie