Dodawanie i odejmowanie modularne

Niech A=14, B=17, C=5

Sprawdźmy, czy (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
  LSR = Lewa Strona Równania
  PSR = Prawa Strona Równania

LSR = (A + B) mod C
  LSR = (14 + 17) mod 5
  LSR = 31 mod 5
  LSR = 1

PSR = (A mod C + B mod C) mod C
  PSR = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
  PSR = (4 + 2) mod 5
  PSR = 1

Popatrz na rysunek poniżej. Jeśli chcemy policzyć 12+9 mod 7 to idziemy wokół koła 12+9 kroków zgodnie ze wskazówkami zegara (tak jak zostało to pokazane na dolnym lewym rysunku).

Drogę tą można skrócić, jeśli zaobserwuje się, że co każde 7 kroków wracamy do tej samej pozycji na kółku. Takie pełne okrążenia nie mają wpływu na naszą końcową pozycję. Możemy się ich pozbyć obliczając najpierw obie liczby modulo 7 (tak jako zostało to pokazane na dwóch górnych rysunkach). W wyniku tej operacji dostaniemy liczbę kroków, które, zaczynając od 0, musimy wykonać zgodnie z kierunkiem biegu wskazówek zegara.

Wynik tej procedury pokazany jest na prawym dolnym rysunku. Ta sama metoda stosuje się również dla dowolnej pary liczb całkowitych i dowolnego dzielnika C.

Udowodnimy, że (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
 . Musimy pokazać, że LSR =PSR

Z twierdzenia o reszcie możemy zapisać A i B jako:

A = C * Q1 + R1 gdzie 0 ≤ R1 < C i Q1 to jakaś liczba całkowita. A mod C = R1
  B = C * Q2 + R2 gdzie 0 ≤ R2 < C i Q2 to jakaś liczba całkowita. B mod C = R2
  (A + B) = C * (Q1 + Q2) + R1+R2

LSR = (A + B) mod C
  LSR = (C * (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
  Możemy wyeliminować wielokrotności C przez zastosowanie operacji modulo C
LSR = (R1 + R2) mod C

PSR = (A mod C + B mod C) mod C
  PSR = (R1 + R2) mod C

Analogiczny dowód stosuje się w przypadku odejmowania modulo