Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Wyobraźcie sobie, że żyjemy w czasach prehistorycznych. Zastanówcie się: jak, bez zegara, mierzymy czas? Wszystkie zegary działają w oparciu o powtarzalny wzór, dzielący czas na równe segmenty. Aby znaleźć te powtarzalne wzory, patrzymy w niebo. Najbardziej oczywiste są wschody i zachody Słońca. Dla dłuższych okresów szukamy dłuższych cykli. Patrzymy więc na Księżyc, który wydaje się stopniowo rosnąć i maleć z nocy na noc. Licząc dni między pełniami, dochodzimy do 29. Stąd się wziął miesiąc. Ale próbując podzielić 29 na równe części większe od 1, napotkamy problem. To wprost niemożliwe! Nie podzielimy 29, chyba że częściami nie będą pełne jednostki. 29 to liczba pierwsza. Inaczej mówiąc, niepodzielna. Liczbę, którą można podzielić na równe części większe od 1, nazywamy liczbą złożoną. Może was ciekawi, ile jest liczb pierwszych i jak duże osiągają wartości. Najpierw podzielmy liczby na dwie kategorie. Liczby pierwsze wypiszemy po lewej stronie, a złożone po prawej. Z początku wydają się tańczyć tam i z powrotem. Nie wyłania się wyraźny wzór. Skorzystajmy z nowoczesnej techniki, by spojrzeć z perspektywy. Pomoże nam spirala Ulama. Najpierw wypiszmy wszystkie możliwe liczby w kolejności rosnącej, spiralnie. Potem liczby pierwsze zaznaczmy na niebiesko. I wreszcie spójrzmy z oddali na miliony liczb. To jest układ liczb pierwszych, ciągnący się w nieskończoność. Co niesłychane, jego struktura do dziś pozostaje nieodgadniona. Jest co badać! Cofnijmy się do roku 300 p.n.e. w starożytnej Grecji. Filozof Euklides z Aleksandrii rozumiał, że każdą liczbę można zakwalifikować do jednej z tych dwu kategorii. Uświadomił też sobie, że każdą liczbę można dzielić aż do osiągnięcia grupy najmniejszych równych czynników. A ten najmniejsze czynniki to, z definicji, zawsze liczby pierwsze. Euklides wiedział, że wszystkie liczby składają się z mniejszych liczb pierwszych. Wyobraźcie sobie wszechświat wszystkich liczb i zignorujcie liczby pierwsze. A teraz wybierzcie dowolną liczbę złożoną i dzielcie ją do oporu… a zawsze na końcu zostaną liczby pierwsze. Euklides wiedział, że każdą liczbę naturalną można wyrazić jako grupę mniejszych liczb pierwszych. Cegiełek. Niezależnie, którą liczbę wybierzecie, zawsze można ją zbudować z mniejszych liczb pierwszych. To jest jego odkrycie, znane jako podstawowe twierdzenie arytmetyki. Weźcie dowolną liczbę, np. 30, i znajdźcie wszystkie liczby pierwsze, przez które dzieli się bez reszty. To rozkład na czynniki pierwsze. Uzyskamy czynniki pierwsze. W tym przypadku liczby 30 te czynniki to 2, 3 i 5. Euklides zdał sobie sprawę, że, mnożąc te czynniki pierwsze określoną liczbę razy, uzyskamy daną liczbę. W tym przypadku, aby uzyskać 30, każdy czynnik pomnożycie raz. 2 razy 3 razy 5 to rozkład 30 na czynniki pierwsze. Uznajcie to za klucz, kombinację. Nie da się zbudować 30 z innych grup liczb pierwszych mnożonych przez siebie. Każda liczba ma jeden i tylko jeden rozkład na czynniki pierwsze. Można sobie wyobrazić, że każda liczba to inny zamek. A jedyny klucz do każdego zamka jest rozkładem na czynniki pierwsze. Żadne dwa zamki nie mają jednego klucza; żadne dwie liczby nie mają takiego samego rozkładu.