Główna zawartość

Kurs: Pixar w pigułce > Rozdział 10

Lekcja 2: Matematyka krzywych animacyjnych

Bonus: Równania krzywych, wynikające z algorytmu de Casteljau

Pytanie-wyzwanie: czy potrafisz rozwiązać równanie dla n-tego stopnia krzywych wygenerowanych przez algorytm de Casteljau?

Równanie parametryczne prostej

W pierwszym kroku algorytmu de Cesteljau definiujemy położenie punktu leżącego wewnątrz odcinka w zależności od parametru

t

. Na przykład, jeśli mamy odcinek pomiędzy dwoma punktami

A

B

, możemy zdefiniować punkt

P (t)

leżący wewnątrz tego odcinka.

Równaniem określającym położenie punktu

P

jest:

P (t) = (1 - t) A + t B

Jeśli

t

zmienia się od

0

1

P (t)

przesuwa się wzdłuż odcinka od punktu

A

B

. Równanie jest liniowe, więc prosta, po której porusza się punkt

P

może być uznana za krzywą

1

stopnia.

Krzywe $2$ ‍ stopnia

Kiedy tworzymy krzywą

2

stopnia (parabolę), używamy trzech punktów,

A

B

C

Teraz otrzymujemy równanie dla punktu

P

leżącego na tej krzywej:

P (t) = (1 - t)^{2} A + 2 (1 - t) t B + t^{2} C

Krzywe $3$ ‍ stopnia

Jeśli utworzymy krzywą $3$ ‍ stopnia za pomocą czterech punktów, $A$ ‍, $B$ ‍, $C$ ‍ i $D$ ‍, jak wygląda równanie na punkt na krzywej w zależności od $A$ ‍, $B$ ‍, $C$ ‍ i $D$ ‍?

P (t) =

Krzywe $4$ ‍ stopnia

A co, jeśli stworzymy krzywą $4$ ‍ stopnia używając pięciu punktów, $A$ ‍, $B$ ‍, $C$ ‍, $D$ ‍ i $E$ ‍?

P (t) =

Krzywe $n$ ‍-tego stopnia

Teraz spójrzmy, czy możemy zobaczyć w tych równaniach jakąś regułę, która pozwoli nam znaleźć postać ogólną równania, które korzysta z

n + 1

punktów,

A_{0}, A_{1}, …, A_{n - 1}, A_{n}

, aby zdefiniować krzywą stopnia

n

Przyjrzyj się pierwszemu wyrazowi w powyższych równaniach i zastanów się, czy dostrzegasz jakąś ogólną zależność.

Ile będzie wynosił współczynnik przy wyrazie $A_{0}$ ‍ w przypadku krzywej stopnia $n$ ‍?

Przyjrzyj się ostatniemu wyrazowi w powyższych równaniach i zastanów się, czy dostrzegasz jakąś ogólną zależność.

Ile będzie wynosił współczynnik przy wyrazie $A_{n}$ ‍ w przypadku krzywej stopnia $n$ ‍?

Teraz, najtrudniejsza część: spójrz na pozostałe wyrażenia w każdym z powyższych równań. Zwróć uwagę, że każdy wyraz zawiera:

stałą
$(1 - t)$ ‍ podniesione do potęgi
$t$ ‍ podniesione do, na ogół, innej potęgi

Na przykład, dla krzywej

2

stopnia, współczynnik przy

A_{1}

2 (1 - t) t

, zatem stała to

2

, wykładnik

(1 - t)

1

i wykładnik

t

1

We współczynniku stojącym przy wyrazie

A_{i}

w równaniu dla krzywej

n

-tego stopnia:

Ile wynosi wykładnik potęgi nad $(1 - t)$ ‍?

Ile wynosi wykładnik potęgi nad $t$ ‍?

Super Ekstra Bonusowe Wyzwanie

Czy potrafisz znaleźć wzór dla stałej, stojącej w wyrażeniu na współczynnik przy

A_{i}

? Kiedy już tego dokonasz, czy możesz złożyć wszystkie części w jednio równanie dla

P (t)

dla krzywej

n

-tego stopnia?

Stała jest współczynnikiem dwumianowym, czyli symbolem Newtona

(\binom{n}{i})

, który może być obliczony ze wzoru:

\frac{n!}{i! (n - i)!}

Możemy teraz podać pełne wyrażenie na współczynnik przy

A_{i}

\frac{n!}{i! (n - i)!} (1 - t)^{n - i} t^{i}

Zwróć uwagę, że wzór jest słuszny dla wszystkich współczynników, w tym także tych stojących przy

A_{0}

oraz

A_{n}

Zatem równaniem dla

P (t)

dla dowolnej krzywej

n

-tego stopnia ma postać:

P (t) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{n!}{i! (n - i)!} (1 - t)^{n - i} t^{i} A_{i}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Pixar w pigułce

Kurs: Pixar w pigułce > Rozdział 10

Równanie parametryczne prostej

Krzywe 2‍ stopnia

Krzywe 3‍ stopnia