Główna zawartość

Zadanie dodatkowe

Ten artykuł doprowadzi Cię krok po kroku do rysowania granic w diagramie Voronoja.

Geometria podziałów Woronoja

Podziały Woronoja tworzy się poprzez rozmieszczenie na ekranie zestawu punktów - centrów - i narysowanie między nimi "granic" w taki sposób, że każda granica znajduje się dokładnie w połowie odległości między punktami, które odgradza.

Przypadek dwóch centrów

Zacznijmy od dwóch centrów,

A

B

. Każdy punkt leżący na prostej, która je oddziela leży w tej samej odległości od

A

i od

B

. Jakie jeszcze inne własności ma ta prosta?

Pierwszą rzeczą, którą zrobimy będzie narysowanie odcinka od

A

B

. Ponieważ wszystkie punkty na granicy są w równej odległości od

A

i od

B

, więc granica przetnie

\overset{―}{A B}

w środkowym punkcie,

M

Więcej o punktach środkowych tutaj.

Teraz możemy wybrać kolejny punkt na granicy,

P

i narysować dwa trójkąty:

A M P

B M P

Punkt

P

znajduje się na granicy, więc wiemy, że

\overset{―}{A P} = \overset{―}{B P}

.
Wiemy też, że

\overset{―}{A M} = \overset{―}{B M}

i że oba trójkąty mają wspólny bok

\overset{―}{M P}

Oba trójkąty mają boki tej samej długości, więc są trójkątami podobnymi. Więcej o podobieństwie trójkątów tutaj.

Ponieważ

△ A M P

△ B M P

są podobne, wiemy że

∠ A M P = ∠ B M P

. Oba kąty leżą na linii prostej (linii

A B

), więc wiemy, że

∠ A M P + ∠ B M P = 180^{\circ}

. Czyli oba kąty muszą mieć po

90^{\circ}

W związku z tym, granica między

A

B

jest symetralną prostej

A B

. Więcej o symetralnych dowiesz się tutaj.

Przypadek trzech centrów

Wiemy więc, że granica między dwoma punktami to symetralna odcinka, który łączy te punkty. Jak możemy wykorzystać tę wiedzę do znalezienia komórek Woronoja trzech punktów? Zacznijmy od narysowania odcinków pomiędzy nimi.

Następnie znajdujemy punkty środkowe każdego z boków.

Zauważ, że trzy symetralne łączą się w punkcie

V

. Każda symetralna jest w takiej samej odległości od dwóch punktów, a

V

leży na wszystkich trzech symetralnych, więc znajduje się w takiej samej odległości od każdego z boków.

V

jest więc wierzchołkiem naszego podziału Woronoja. Możemy narysować granice zaczynając od wierzchołka i kontynuując przez każdy z punktów środkowych.

Pytania

Jakim terminem określa się punkt $V$ ‍ w odniesieniu do $△ A B C$ ‍?
W jakim przypadku symetralne nie będą się przecinać?

Algebra podziałów Woronoja

Kiedy poznaliśmy już trochę geometrię prostego podziału Voronoja, wykorzystajmy algebrę aby obliczyć współrzędne wierzchołka.

Powiedzmy, że mamy trzy punkty,

A

B

C

o współrzędnych:

A = (30, 60)

B = (90, 80)

C = (150, 20)

Najpierw wyprowadźmy równanie na symetralną

\overset{―}{A B}

. Wiemy, że przetnie punkt środkowy

\overset{―}{A B}

i będzie prostopadła do

\overset{―}{A B}

Zobacz tutaj jak wyprowadzić równanie na symetralną.

Jaki jest punkt środkowy

\overset{―}{A B}

(

)

Jakie będzie nachylenie

\overset{―}{A B}

Jakie będzie nachylenie symetralnej

\overset{―}{A B}

Jakie jest równanie na symetralną

\overset{―}{A B}

y =

x +

Mamy teraz równanie na symetralną

\overset{―}{A B}

. Możemy skorzystać z tego samego podejścia żeby obliczyć symetralną

\overset{―}{B C}

Jakie jest równanie na symetralną

\overset{―}{B C}

y =

x +

Mamy teraz równanie na dwie symetralne i możemy obliczyć gdzie się przecinają. Jeśli wykrzystamy

m_{1}

b_{1}

do przedstawienia nachylenia i

y

- punktu przecięcia pierwszej symetralnej, a

m_{2}

b_{2}

do przedstawienia nachylenia i

y

punktu przecięcia drugiej symetralnej, wyjdzie nam:

\begin{aligned} y & = m_{1} x + b_{1} \\ y & = m_{2} x + b_{2} \end{aligned}

Czyli:

\begin{aligned} m_{1} x + b_{1} & = m_{2} x + b_{2} \\ m_{1} x - m_{2} x & = b_{2} - b_{1} \\ (m_{1} - m_{2}) x & = b_{2} - b_{1} \\ x & = \frac{b_{2} - b_{1}}{m_{1} - m_{2}} \end{aligned}

Wstaw do równania wartości nachylenia i punktu przecięcia

y

żeby znaleźć współrzędną

x

punktu przecięcia. Następnie wstaw wartość

x

do jednego z równań na symetralną żeby znaleźć współrzędną

y

Gdzie przecinają się symetralne?

(

)

Wyobraź sobie teraz obliczanie setek punktów. Dlatego właśnie korzystamy z komputerów!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.