Reguła 72 dla procentu składanego

Poprzednio mówiliśmy trochę o procencie składanym. Omówiliśmy przykład z kapitalizacją roczną, nie ciągłą, którą oferuje większość banków; chciałem, byście zrozumieli, że choć zasada jest prosta… Co roku dostajecie 10% sumy, z którą rok zaczynaliście, a odsetki są „składane”, bo po roku, prócz procentu od pierwotnego depozytu dostajecie odsetki od odsetek z poprzednich lat. Dlatego to odsetki składane. I chociaż zasada jest dość prosta, z obliczaniem może być kłopot. Mając porządny kalkulator, coś obliczycie (jeśli wiecie, jak), ale praktycznie nie da się zrobić tego w pamięci. Pod koniec poprzedniego odcinka powiedzieliśmy: „Jeśli mam 100$ i dostaję 10% rocznie”, stąd ta jedynka, „to kiedy ta suma się podwoi?”. I napisałem takie równanie. Żeby je rozwiązać… Jak już mówiłem, większość kalkulatorów nie obliczy logarytmu o podstawie 1,1. Można też napisać: x to logarytm o podstawie 10 z 2, podzielić przez logarytm o podstawie 1,1 z 2. To inny sposób na obliczenie logarytmu o podstawie 1,1 z 2. Mówię to… Przepraszam. To powinien być logarytm o podstawie 10 z 1,1. A większość kalkulatorów ma tylko funkcję logarytmu o podstawie 10. Te wyrażenia są równoważne. Aby powiedzieć, kiedy wkład podwoi się, przy 10% rocznie, trzeba by wpisać to w kalkulator, spróbujmy… Spróbujmy od razu. Mamy tu 2, wyznaczymy logarytm… To jest 0,3 podzielone przez… podzielone przez… W nawiasie, dla jasności. Podzielone przez 1,1 i logarytm z tego. Zamykam nawias… To się równa 7,27 roku. W przybliżeniu, 7,3 roku. To się równa około 7,3 roku. Jak widzieliśmy ostatnio, nie jest to łatwe; nawet jeśli rozumiecie wzór, trudno jest obliczyć to w głowie. To prawie niemożliwe. Podam wam więc zasadę, która pozwoli oszacować, ile trzeba czasu, by podwoił się wkład. Ta zasada… nazywa się regułą 72. Czasami to reguła 70 lub reguła 69, ale najbardziej typowa jest reguła 72, zwłaszcza gdy mówimy o kapitalizacji odsetek okresowej, a nie ciągłej. Tam lepiej sprawdzi się 69 lub 70; zaraz objaśnię, o co chodzi. Odpowiedzmy na to samo pytanie. Mam odsetki 10%, kapitalizowane rocznie. Kapitalizowane rocznie. 10%, kapitalizacja roczna. Za pomocą reguły 72 oszacuję, kiedy mój wkład się podwoi. Dosłownie – biorę 72. Biorę 72. Stąd nazwa „reguła 72”. Dzielę tę liczbę przez stopę procentową. To jest 10. W zapisie dziesiętnym – 0,1. 10 ze stu. 10%. 72 podzielić przez 10 to 7,2. Kapitalizacja roczna, więc 7,2 roku. Przy 10% z kapitalizacją miesięczną uzyskalibyśmy 7,2 miesiąca. Zatem – 7,2 roku, a to bardzo blisko tego, co wyliczyliśmy skomplikowanym wzorem. Podobnie… Powiedzmy, że kapitalizuję… Rozwiążmy inne zadanie. Powiedzmy, że jest 6%. 6%, kapitalizacja roczna. Kapitalizacja roczna. Stosując regułę 72, dzielę 72 przez 6 i uzyskuję… 6 mieści się w 72 12 razy, zatem trzeba będzie 12 lat, by mój wkład się podwoił. Jeśli dostaję 6% przy kapitalizacji rocznej. Wypróbujmy to. Poprzednio poznaliśmy inny sposób: powiedzmy, że x… Rozwiązanie powinno być bliskie logarytmowi… o dowolnej podstawie z dwóch, podzielonemu przez… stąd podwojenie kwoty. „2” to „2 razy więcej pieniędzy”. I dzielimy to przez logarytm o takiej samej podstawie, 10, ale w tym przypadku zamiast 1,1 mamy 1,06. Już widać, że będzie trochę trudniej. Wyciągnę kalkulator. Mamy więc logarytm z dwóch podzielony przez 1,06, też logarytm, a jest to równe 11,89 - czyli jakieś 11,9. Po zastosowaniu wymyślnego wzoru uzyskaliśmy 11,9. Jak widzicie, to dobre przybliżenie, a ten wzór jest naprawdę znacznie prostszy niż ten. Większość z nas obliczy to w pamięci. I można zaimponować znajomym! Żeby lepiej zobaczyć, jak trafna jest ta liczba 72, wprowadziłem to do arkusza kalkulacyjnego. Powiedziałem: „Tu mamy różne stopy procentowe. A to czas potrzebny do podwojenia wkładu. Używam tego wzoru, by obliczyć dokładną liczbę okresów potrzebnych do podwojenia środków. Jednostką niech będą lata, przy kapitalizacji rocznej, Przy 1% do podwojenia wkładu trzeba 70 lat. Przy 25% wystarczy nieco ponad trzy lata. To jest prawdziwe, poprawne… poprawne. Zakreślę na niebiesko. To jest właściwa liczba. Prawdziwa. Tu mamy prawdziwe wartości. Naniosłem to tutaj. Niebieska linia przedstawia rzeczywiste wyniki. Nie naniosłem wszystkich punktów. Zacząłem od 4%. Jeśli weźmiemy 4%… trzeba 17,6 roku, by wkład się podwoił. 4% - to 17,6 roku na podwojenie. To ten punkt na niebieskiej linii. Przy 5% trzeba… trzeba 14 lat, by wkład się podwoił. To także pokazuje, że każdy procent ma znaczenie w przypadku odsetek składanych. Przy 2% trzeba 35 lat, by wkład się podwoił. 1% to 70 lat. Pieniądze podwajają się dwa razy szybciej. To ważne, zwłaszcza gdy myślicie o podwojeniu, lub nawet potrojeniu wkładu. A teraz – na czerwono… tutaj, na czerwono, napisałem, ile przewiduje reguła 72. Jeśli weźmiecie 72 i podzielicie przez 1%, to uzyskacie 72. 72 podzielone przez 4 to 18. Reguła 72 mówi, że trzeba 18 lat, by wkład podwoił się przy stopie 4%. A rzeczywista odpowiedź to 17,7 lat. Bardzo blisko! To właśnie zakreślam na czerwono. Jak widzicie, przedstawiłem to na wykresie. Krzywe są blisko siebie. Przy niskich stopach procentowych przy niskich stopach, czyli tutaj, reguła 72… Reguła 72 lekko, nieznacznie przeszacowuje, ile potrwa podwajanie wkładu. A przy wyższych stopach procentowych ten czas jest lekko niedoszacowany. Zastanawiacie się, czy 72 to naprawdę najlepsza liczba? Ja to przemyślałem. Jeśli weźmiemy stopę procentową i pomnożymy ją przez czas podwajania się wkładu… Tu są wyniki. Przy niskich stopach procentowych działa 69. Przy bardzo wysokich sprawdzi się 78. Ale 72 to całkiem niezłe przybliżenie. Bardzo dobrze się sprawdziło od 4% do 25%. Z takimi stopami na ogół będzie mieć do czynienia większość z was. Oby się wam przydał ten prosty sposób wyliczania, kiedy podwoi się wkład. Jeszcze jeden przykład, dla zabawy. Mam… Mam… nie wiem… 4… nie, to już robiłem. Powiedzmy, że mam 9% z kapitalizacją roczną. Kiedy pieniądze się podwoją? 72 podzielone przez 9 to 8 lat. Trzeba ośmiu lat, żeby wkład się podwoił. A prawdziwa odpowiedź… To była przybliżona, przy użyciu reguły 72. Prawdziwa odpowiedź przy 9% to 8,04 roku. Licząc w pamięci, dokonaliśmy bardzo dobrego przybliżenia!