If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:8:59

Transkrypcja filmu video

Powiedzmy, że chcemy pożyczyć 50$. Zatem nasz kapitał to 50$. Pożyczymy tę kwotę na trzy lata. Czas, t w latach, to 3. A kapitalizacja będzie nie raz w roku, tylko cztery razy w roku. Co trzy miesiące. I powiedzmy, że stopa procentowa… przy kapitalizacji raz w roku wynosiłaby 10%, ale skoro mamy kapitalizować 4 razy w roku… podzielimy to przez 4 i sprawdzimy kapitalizację w każdym okresie. A 10% to inaczej 0,10. Zapiszmy wzór. Proponuję, żebyście zatrzymali film i spróbowali sami ułożyć wzór na ilość, którą będziecie musieli spłacić, jeśli zrobicie to: pożyczycie 50$ na trzy lata, z kapitalizacją cztery razy w roku. W każdym okresie będzie kapitalizacja o 10% podzielone przez 4. Ile będziecie musieli spłacić za trzy lata? Zapiszmy to. 50$ - tyle wynosi kapitał. I pomnożymy to… zrobimy kapitalizację. W każdym okresie. W każdym z tych 3 razy 4 okresów… 3 lata, każdy rok podzielony na 4 części, więc okresów będzie 12. W każdym będziecie kapitalizować, mnożąc przez 1 plus to r. Zapiszę w postaci ułamka dziesiętnego. 0,10… podzielić przez liczbę kapitalizacji rocznie, do potęgi… Trzeba by to podnieść do potęgi n, gdyby chodziło o rok. Cztery okresy, więc potęga czwarta. Na rok. Ale to trzy lata. Zrobicie to więc 3 pomnożone przez 4 razy… Będą cztery okresy, trzy razy. Zapiszę. Będzie cztery… Albo lepiej zamiast n napiszę 4, żebyście zobaczyli liczby. Zrobicie to 4 pomnożone przez 3… do potęgi 4 pomnożone przez 3. Zachęcam was - zatrzymajcie film i na kalkulatorze obliczcie, ile to jest. Podstawiłem prawdziwe wartości, byście zobaczyli, dlaczego ma to sens. To jest kapitał… Za każdym razem będziecie mnożyć go przez 1,025. Będziecie go powiększać o 2,5%. I zrobicie to 12 razy, bo jest 12 okresów. 4 okresy rocznie razy 3 lata. Tyle czasu będziecie musieli spłacać. Chcąc to wyrazić nieco bardziej abstrakcyjnie, moglibyśmy napisać: P razy… 1 plus… Od razu zamknę nawias, bo to ten sam kolor. Mamy r podzielić przez n do potęgi… do potęgi n razy t. Możecie wybrać jakieś P, t, n oraz r, i podstawiać tutaj. Wyjdzie kwota, którą trzeba zapłacić. Co ciekawe… Widzieliśmy to już w poprzednim odcinku… Obliczyliśmy granicę przy n dążącym do nieskończoności. Zróbmy to także tutaj. Jeśli wyznaczymy granicę przy n dążącym do nieskończoności… przy n dążącym do nieskończoności. Co się tu właściwie dzieje? Dzielimy nasz rok na coraz więcej okresów. Na nieskończoną liczbę okresów. Możecie więc powiedzieć, że robimy ciągłą kapitalizację odsetek. Fascynujące! Dzielimy rozpatrywany okres na nieskończoną liczbę części i kapitalizujemy o nieskończenie małą ilość w każdym z tych okresów. Ale można też sformułować wzór. Już widać, że wynik nie będzie ogromny. Wykorzystajmy to do wyprowadzenia wzoru na ciągłą kapitalizację odsetek. Jest często stosowany w finansach i bankowości, zresztą także w wielu dziedzinach wcale niezwiązanych z finansami i bankowością. Wzrost wykładniczy itd. Spróbujmy więc oszacować wartość tego wyrażenia. Zrobię coś, żeby wszystko uprościć. Zastąpię to czymś. Zdefiniuję zmienną. Chcę to doprowadzić do takiej postaci. Zdefiniuję zmienną x. I powiem, że x to odwrotność r przez n. Będę mógł tu napisać 1 przez x. Zatem to jest n przez r; x równa się n przez r. Albo możemy to zapisać tak: n jest równe x razy r… n jest równe x razy r… jest równe… x razy r. Gdy zrobimy to podstawienie (n dąży do nieskończoności)… A przy x dążącym do nieskończoności n też będzie dążyć do nieskończoności. A wtedy x także. Zaś r to tylko stała, wartość dana. Interesuje nas, co będzie przy zmianach n. Możemy to więc przekształcić. Nie chcę was męczyć, ale miejcie jakieś pojęcie o tym, skąd wziął się wzór. Zapiszmy to jako granicę przy x dążącym do nieskończoności. …x dąży do nieskończoności. To granica stałej pomnożonej przez jakieś wyrażenie. Wyciągnijmy stałą. Zatem: P razy granica przy x dążącym do nieskończoności… z 1 plus… r przez n to 1 przez x. 1 plus 1 przez x… do potęgi… n to x razy r… n to x razy r, więc zapiszę… do potęgi x razy r… razy t. To jest to samo. Przepiszę. Albo skopiuję tę część. Kopiuj… To jest tym samym, co… To jest równe P razy… Zrobię nawiasy. Razy… Przesadziłem. Razy… ta granica. Ta właśnie granica. Jeśli podnoszę coś do tej potęgi, x razy r razy t, to mógłbym najpierw podnieść to do potęgi x, a potem do r razy t. …r razy t. To się bierze z właściwości potęgowania. Już wiecie. Te dwa wyrażenia są równoważne. Posuwam się etapami, ale mam nadzieję, że łatwo wam zrozumieć. Korzystam z własności, która mówi, że granica przy x dążącym do c… z f(x) do potęgi… do potęgi xrt. To jest to samo, co… granica… przy x dążącym do c z f(x) do potęgi x i to wszystko podniesione do potęgi rt. A czym jest to? Czym jest wyrażenie w nawiasie? Widzieliśmy to już przedtem. To wszystko… jest równe e. Możemy to zapisać… Świetnie! To jest wzór na ciągłą kapitalizację odsetek. Przy ciągłej kapitalizacji będziemy musieli spłacić kapitał razy e… do potęgi rt. Do potęgi rt. Zróbmy konkretny przykład. Gdybyście mieli pożyczyć 50$ na 3 lata, przy stopie procentowej 10%, nie kapitalizujecie 4 razy w roku, lecz nieskończoną liczbę razy. Kapitalizacja ciągła. Zobaczmy, ile będziecie musieli w końcu zapłacić. Będzie to… 50 razy… e… do potęgi… Nasza stopa procentowa to 0,1. Zróbmy nawias. 0,1… 0,1 razy czas, czyli razy trzy lata, bo t jest w latach. Tak przyjęliśmy. I okazuje się, że musicie zapłacić 67… W zaokrągleniu, 67,49$.