If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Matematyczna wersja KSK i mnożnika (opcjonalne)

Uogólnienie tego, co zrobiliśmy w ostatnim filmie z większą ilością matematyki. Stworzone przez: Sal Khan.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Transkrypcja filmu video

Rozpatrzę ten sam scenariusz, co poprzednio, ale podejdę do sprawy bardziej matematycznie. Dzięki temu zobaczycie, że chodzi o to samo. Będzie trochę wzorów, co pozwoli nam uogólnić pojęcia wprowadzone w poprzednim odcinku. Zamiast określać, że krańcowa skłonność do konsumpcji na naszej wyspie wynosi 0,6, nazwijmy ją uniwersalnym symbolem C. Chcemy się zorientować, jak, przy początkowej zmianie wydatków… a zmiana wydatków tego faceta będzie zmianą dochodów tego… Zobaczymy, jak cykl powtarza się za sprawą efektu mnożnika. Jaka będzie całkowita zmiana PKB? To właśnie nas interesuje: całkowita zmiana PKB. PKB, czyli Y, możemy traktować jak wydatki albo zysk, zależnie od perspektywy. Zamiast mówić, że facet wydaje 1000$, oznaczmy tę zmianę wydatków symbolem „delta Y0”. Delta oznacza zmianę, a Y uznajmy za wydatki globalne. Zero napisałem dlatego, że to początek. Delta początkowa. Dalej będziemy mieli Y1, Y2, Y3 itd. Całkowita zmiana PKB – to będzie to. W poprzednim przykładzie: 1000$. Ten facet wydaje 1000$, a ten ma 1000$ dochodu. Mamy więc deltę Y0… Ale potem zobaczyliśmy, że krańcowa skłonność do konsumpcji u tego człowieka wynosi C. Ze swojego zysku wyda on C razy to. I mamy deltę Y1. To następna zmiana w naszym PKB. Jest to równe C razy to, ile właśnie zyskał. Po powtórzeniu zerowym, w powtórzeniu pierwszym całkowita zmiana wynosi… wynosi… Zapiszę to tak: plus delta Y1, a delta Y1 to jest to samo, co C razy delta Y0. Ten zawiły zapis wyraża coś prostego. To samo, co omawialiśmy poprzednio. Facet, oprócz tego, co wydał w powtórzeniu zerowym, teraz ma deltę Y1. Założyliśmy, że jego krańcowa skłonność do konsumpcji to C. Teraz więc on wyda C razy to. Dokona wydatku… napiszę to tym samym kolorem. Jego wydatek to delta Y2, co jest równe C razy delta Y1. Teraz mamy deltę Y2, kolejną zmianę. Zmiany stają się coraz mniejsze, ale można tak w nieskończoność. Żebyście pamiętali, zaznaczę: delta Y2 to jest to samo, co C razy delta Y1. A delta Y1 jest tym samym, co C razy delta Y0. Zatem to wszystko tutaj można zapisać jako C kwadrat razy delta Y0. To natomiast równa się C razy delta Y0. A to oczywiście po prostu delta Y0. I tak dalej. Gdyby budowniczy teraz wziął tę kwotę i wydał C razy to u rolnika, czyli gdybyśmy mieli deltę Y3, to wynosiłaby ona C razy to. Zatem: C sześcian razy delta Y0. I można to ciągnąć w nieskończoność. Wyrazy będą się stawały coraz mniejsze… …ponieważ, aby to w ogóle działało, musimy założyć, że C należy do przedziału od 0 do 1. C jest mniejsze od 1. Oczywiście, kiedy ktoś ma nowy dochód… myślimy o prostym przypadku. Ten ktoś nie wyda więcej… Nie wyda więcej pieniędzy, niż właśnie zdobył. Nie wyda wszystkiego. Założymy, że to jest mniejsze od 1. Robimy to samo, co w poprzednim odcinku, tylko ogólnie. Możemy to uprościć matematycznie. To wszystko jest równe naszej delcie Y – całkowitej zmianie PKB, którą wywołał pierwszy bodziec. A jeśli wyciągniemy przed nawias ten 1. bodziec, czyli deltę Y0, Zmienię kolor, będzie lepiej widać. Mamy tu deltę Y0… deltę Y0… deltę Y0… Deltę z indeksem zero. Wyciągając to przed nawias, uzyskamy całkowitą zmianę w PKB. Zmianę w… produkcji, wydatkach, czy zysku. Będzie ona równa… Wyciągniemy to przed nawias. Delta Y0 razy… i zostanie nam… Jeśli wyciągniemy zmianę Y0 stąd, w nawiasie zostanie 1, a tutaj dodajemy C, plus C kwadrat, plus C sześcian. I tak dalej. W poprzednim odcinku mówiłem, że to tutaj sprowadza się do postaci „1 przez 1 minus C”. To jest równe… ta część jest równa 1 przez 1 minus C. Może poprzedni odcinek was nie przekonał… Teraz jest okazja, żebym wyjaśnił, dlaczego to jest 1 przez 1 minus C. Nie chcę wprowadzać zbyt wielu zmiennych… nazwijmy to wszystko X. Powiedzmy, że X jest równy temu wszystkiemu. X równa się 1 plus C plus C kwadrat plus C sześcian, itd., itd. Teraz wyobraźmy sobie, co będzie, jeśli pomnożymy X przez C. Co będzie, jeśli pomnożę… zrobię to innym kolorem. Co będzie, jeśli pomnożę C przez X? Wtedy każdy z tych wyrazów mogę pomnożyć przez C. 1 razy C to C, C razy C to C kwadrat, C kwadrat razy C to C sześcian, C sześcian razy C to C do potęgi czwartej i tak dalej. A teraz – co będzie, jeśli odejmę to od tego? Jeśli odejmę… Po lewej stronie uzyskuję X minus CX. X minus CX po lewej stronie. Napiszę to na różowo. Minus… gdzie to się podziało? Chyba zmieniłem kolor kursora… Zapiszę X minus CX, a to będzie równe… Jeśli odejmiemy to od tego wszystkiego… Tu mamy C minus C, czyli się skraca… Napiszę na żółto. C kwadrat minus C kwadrat się skraca. C sześcian minus C sześcian się skraca. Każdy wyraz inny niż 1 się skróci. Wszystko się skróci. Zostanie tylko 1. Ładnie to zrobiliśmy! A tutaj przed nawias wyciągniemy X. Mamy więc X razy 1 minus C równa się 1. Podzielmy obie strony przez 1 minus C. Uzyskamy: X równa się 1 przez 1 minus C. Przy czym X - to dokładnie to tutaj. To wszystko jest równe 1 przez 1 minus C. To tutaj… Przedstawiłem to samo, o czym mówiłem w poprzednim odcinku. Całkowita zmiana w PKB, tutaj… możemy to uznać za całkowitą zmianę PKB… To będzie równe pierwszej zmianie w PKB, którą nazwaliśmy deltą Y0… To był pierwszy wydatek rolnika i pierwszy dochód budowniczego. Całkowita zmiana będzie równa pierwszej zmianie pomnożonej przez to wyrażenie. Przez mnożnik. Tu mamy ten mnożnik, funkcję krańcowej skłonności do konsumpcji. To tutaj… zaznaczę wszystko. Albo lepiej przepiszę. Całkowita zmiana naszych globalnych wydatków, produkcji czy zysku, równa się pierwszej zmianie pomnożonej przez mnożnik, będący funkcją krańcowej skłonności do konsumpcji. To wszystko tutaj to nasz mnożnik… mnożnik… A to – można to uznać za początkową zmianę. Sprawdźmy, czy to działa. Wróćmy do poprzedniego przykładu. Krańcowa skłonność do konsumpcji wynosiła 0,6. C wynosiło 0,6, a nasza zmiana początkowa… nasz początkowy wydatek był równy tysiącowi dolarów. Jeśli podstawimy tu 0,6, uzyskamy 2,5. Czyli ten sam mnożnik i tę samą całkowitą zmianę PKB, co w poprzednim odcinku. Przynajmniej teraz to uogólniliśmy. Mam nadzieję, że oswoiliście się z zapisem, który stosuję. Prawie w każdym podręczniku ekonomii zobaczycie inny zapis. Chciałem jednak, żebyście to zrozumieli.