Wizualizacja nachylenia kosztów przeciętnych i kosztów krańcowych

W tym odcinku chciałbym wykorzystać dane z poprzedniego i przedstawić je graficznie, aby były bardziej zrozumiałe. W wykresie, który widzicie na dole, użyłem liczby linijek kodu miesięcznie – danych z tej kolumny… Użyłem tej kolumny, którą właśnie zaznaczam, jako danych dla osi poziomej. Jeśli potraktujemy to jako zmienne zależne i niezależne, to tę kolumnę uczyniłem zmienną niezależną. Wykres pokazuje, jakie przy danej liczbie linijek kodu miesięcznie są koszty stałe, koszty zmienne i koszty całkowite. Te wartości są na osi poziomej. Tu mamy więc liczbę linijek kodu miesięcznie. linijek kodu miesięcznie. Jak widać, dochodzi prawie do 12 tysięcy, więc skala obejmuje cały zakres wartości, które nas interesują w tej kolumnie. Zaś do osi pionowej – o czym już napomknąłem – mamy przypisane koszty: koszty stałe, koszty zmienne i koszty całkowite. Pokazuje to ta mała legenda. Koszty stałe – bez względu na liczbę linijek kodu… Teraz podchodzimy trochę inaczej niż ostatnio. Ostatnio zaczynaliśmy od liczby programistów i liczyliśmy koszty: stałe, zmienne i całkowite. Teraz zaczynamy od liczby linijek kodu. Bez względu na liczbę linijek kodu – w granicach rozsądku – koszty stałe nie zmieniają się. Te 15 000 dolarów miesięcznie to czynsz za lokal, koszt bufetu i dystrybutora wody, pensja managera i tym podobne. Widać je tutaj: ta zielona linia to nasze koszty stałe. Bez względu na to, ile linijek kodu uzyskujemy, koszty stałe wynoszą 15 000 dolarów miesięcznie. Ta wartość to 15 000 dolarów. Następnie mamy koszty zmienne, jako pomarańczową linię. Koszty zmienne na pomarańczowo. Poszczególne punkty są zaznaczone. Gdy mamy zero linijek kodu miesięcznie, koszty zmienne wynoszą zero. To ten punkt. Gdy mamy 4000 linijek kodu, koszty zmienne wynoszą 10 000. To ten punkt. Gdy mamy… Wybiorę losowo jakiś punkt. Gdy mamy 11 400 linijek kodu miesięcznie, koszty zmienne wynoszą 70 000. 11 400… leży mniej więcej… Tu jest 11 000, więc tu jest 11 400, a koszty zmienne wynoszą 70 000 dolarów. To ten punkt. I wreszcie: koszty całkowite, czyli suma kosztów stałych i zmiennych. Przedstawia je niebieska linia. Koszty całkowite… są zaznaczone na niebiesko. Ta linia jest sumą tej zielonej, płaskiej linii i pomarańczowej linii. Jeśli weźmiemy dowolny punkt pomarańczowej linii kosztów zmiennych, i dodamy 15 000 kosztów stałych, to znajdziemy się na niebieskiej linii. W każdym punkcie niebieska linia jest dokładnie o 15 000 dolarów wyżej… o 15 000 dolarów wyżej, niż pomarańczowa. Nawet tutaj, gdzie obie linie zawijają się do tyłu. Pewnie zastanawia was, dlaczego tak zawijają się do tyłu. To skutek tego, o czym mówiłem poprzednio: że im więcej mamy programistów, tym mniejszą wydajność ma każdy z nich, bo muszą ciągle rozmawiać o podziale pracy i przerabiać pracę innych. Tak jest do pewnego punktu, za którym zwiększanie nakładów zmniejsza łączną wydajność. Jeśli będziemy zwiększać nakłady… Nie mam tu ich na osi, ale zatrudniając kolejnych programistów, dochodzimy do punktu, w którym uzyskujemy 11 400 linijek kodu miesięcznie. Jeśli zatrudnimy kolejnych programistów, to nasze koszty wzrosną, bo musimy zapłacić im pensję, ubezpieczenie i tak dalej, lecz łączna wydajność znów zacznie spadać. To właśnie obserwujemy tutaj, gdzie obie… gdzie obie krzywe – kosztów zmiennych i całkowitych – zawijają się z powrotem do tyłu. Zrobiłem ten wykres, żeby pokazać, jak wizualnie – poprzez nachylenie… Zachęcam, żebyście… Jeśli „nachylenie” to dla was obce pojęcie, w dziale algebry jest mnóstwo poświęconych mu prezentacji. Nachylenie to współczynnik kierunkowy linii wykresu. Na przykład ta linia ma większe nachylenie niż ta linia. Mierzymy je następująco: zmiana w osi pionowej… zmiana w osi pionowej, zwykle opisywana jako Δy… Ten trójkącik to grecka litera „delta” symbolizująca zmianę. …zmiana w osi pionowej, dzielona przez zmianę… dzielona przez zmianę w osi poziomej, oznaczaną jako Δx. A więc nachylenie… równa się zmiana y dzielona przez zmianę x. Gdy zmierzymy je w ten sposób, ta linia ma mniej więcej taką samą zmianę w osi poziomej, ale dużo mniejszą zmianę w pionie. Ma mniejszą zmianę y. Dzieląc mniejszą zmianę y przez tę samą zmianę x, otrzymamy mniejsze nachylenie. Natomiast taka linia… Natomiast taka linia ma dużo większą zmianę y, – licznik ułamka jest większy… ma większą zmianę y i mniejszą zmianę x. Skoro mianownik się zmniejszył, to wartość ułamka wzrosła. Ta linia ma zatem duże nachylenie. Duże nachylenie. Przypomniałem w skrócie, czym jest nachylenie, ale chciałbym przeanalizować te średnie koszty stałe, koszty zmienne, koszty całkowite i koszty krańcowe w związku z nachyleniem linii tych oto wykresów. Jeśli weźmiemy średni… Jeśli weźmiemy ten punkt: ten średni koszt stały, 3,75 dolara, to znaczy on, że gdy produkujemy 4000 linijek kodu… 4000 linijek kodu, to nasze średnie koszty stałe wynoszą 3,75. Jesteśmy na zielonej linii, użyję zielonego. Jesteśmy na zielonej linii tutaj. Aby obliczyć średnią… Ale to są nasze… To są nasze koszty stałe. Aby uzyskać średnie koszty stałe, musimy podzielić koszty stałe, czyli… czyli tę wysokość… Musimy podzielić ją przez liczbę linijek kodu. Wtedy uzyskamy koszty stałe… średnie koszty stałe linijki kodu. Dzielimy zatem zmianę na osi pionowej przez zmianę na osi poziomej, co daje nam współczynnik kierunkowy, czyli nachylenie krzywej. Nachylenie tej linii. I to wyraża ta wartość. Jeśli przejdziemy do tego punktu, produkujemy tu 7000 linijek kodu i wciąż kosztuje… i wciąż kosztuje nas to 15 000 dolarów. 15 000 dolarów. Dzielę łączną zmianę kosztów stałych… Dzielę ją przez… Dzieląc łączne koszty stałe przez łączną liczbę linijek kodu… przez łączną liczbę linijek kodu uzyskuję nachylenie… Niezbyt dobrze widać, co rysuję. Daje mi to nachylenie… Spróbuję równiej. …tej linii. I, jak widać, ta linia ma mniejsze nachylenie niż poprzednia. I to ma sens, bo średnie koszty stałe linijki kodu powinny maleć. Mamy wciąż tę samą sumę, którą dzielimy na coraz więcej linijek kodu. Gdybyśmy wzięli ten punkt, nachylenie linii biegnącej aż tutaj byłoby nieco… byłoby jeszcze mniejsze. Skasuję to. Mam nadzieję, że rozumiecie. Średnie koszty stałe są najłatwiejsze do zrozumienia. Tę samą sumę dzielimy na coraz więcej linijek kodu lub programistów. Teraz średnie koszty zmienne. W każdym z tych punktów bierzemy koszty zmienne i dzielimy przez liczbę linijek kodu. Zatem koszty zmienne… w tym punkcie wynoszą 10 000 dolarów i dzielimy je przez 4000 linijek kodu. To nachylenie tej oto linii. Produkując 7000 linijek kodu łączne koszty zmienne wynoszą 20 000 dolarów. Dzielę je przez 7000 linijek kodu. I otrzymuję nachylenie tej długiej czerwonej linii. Nie wychodzą mi równo te linie. To jest nachylenie tej oto linii. Wykres jest krzywą, więc ma inne nachylenie tu i tu. Ta linia… Mierząc średnie koszty zmienne mierzymy średnie nachylenie od początku wykresu aż do tego punktu. Średnie koszty całkowite znaczą to samo. Średnie koszty całkowite tutaj to łączne koszty całkowite czyli to… podzielone przez… podzielone przez… łączną ilość kodu. Przez łączną ilość kodu. Jest to zatem nachylenie tej oto linii. Widać, że to nachylenie… Gdy zaczynając stąd… Gdy stąd poprowadzimy linię do tego punktu, nachylenie zmniejsza się, Ale potem, jak widać, nachylenie znów zaczyna rosnąć, ponieważ zaczynają rosnąć koszty zmienne. Ponieważ uzyskujemy coraz mniejszą wydajność zatrudniając kolejnych ludzi do pisania programu. Koszty krańcowe są najciekawsze. W poprzednich kolumnach mamy łączne koszty: łączne koszty zmienne, łączne koszty całkowite czy stałe, dzielone przez łączną ilość kodu. Wartości te oznaczają nachylenie linii łączących punkty z początkiem układu. Koszty krańcowe oznaczają coś innego. Usunę to wszystko, żebym mógł wyjaśniać. Koszt krańcowy oznacza zmianę kosztów całkowitych… – nie łączne koszty całkowite, lecz zmianę kosztów całkowitych – podzieloną przez zmianę liczby linijek kodu. Na przykład… Zmienię kolor na wyrazistszy. Ten koszt krańcowy… ten punkt na wykresie… Powiedzmy… Mogę to pokazać na krzywej kosztów całkowitych albo kosztów zmiennych. Pokażę na kosztach całkowitych: zatem ten punkt. W tym przypadku bierzemy więc zmianę kosztów całkowitych względem poprzedniego punktu, który jest tutaj. A zmiana kosztów całkowitych to tylko ten odcinek. To nasza zmiana kosztów całkowitych. I dzielimy ją przez zmianę ilości kodu. Czyli przez zmianę liczby linijek kodu. Uzyskujemy w ten sposób nachylenie linii łączącej poprzedni punkt z obecnym na krzywej kosztów całkowitych. Jeśli przejdziemy tutaj… Wybiorę losowo inny punkt, który nie łączy się z początkiem. Zajmijmy się tym kosztem krańcowym. Dotyczył on sytuacji, gdy produkowaliśmy 10 600 linijek kodu, a koszty całkowite wynosiły 65 000 dolarów. Mamy więc koszty równe 65 000 i 10 600 linijek kodu. To ten punkt wykresu. Otóż ta wartość oznacza zmianę kosztów całkowitych względem poprzedniej zmiany, czyli względem poprzedniego punktu… To zmiana kosztów całkowitych… To zmiana kosztów całkowitych podzielona przez zmianę liczby linijek kodu od poprzedniego punktu. Ta zmiana ilości kodu to tylko tyle. To zmiana liczby linijek kodu. Zatem ten koszt krańcowy to ta wielkość podzielona przez tę, a więc nachylenie linii łączącej te dwa kolejne punkty. Koszt krańcowy to właśnie to. Żeby wszystko było jasne: Te średnie koszty stałe, zmienne i całkowite oznaczają nachylenie linii łączącej dany punkt z zerem. Natomiast koszt krańcowy wyraża nachylenie linii łączącej dwa kolejne punkty na krzywej kosztów całkowitych, albo też… bo to tylko przesunięta krzywa kosztów zmiennych, albo też wyraża nachylenie linii łączącej dwa kolejne punkty na krzywej kosztów zmiennych. Stanowi przybliżone… albo uśrednione – stąd słowo „średnio” – uśrednione nachylenie krzywej między tymi dwoma punktami.