If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

4 klasa (Eureka Math/EngageNY)

Kurs: 4 klasa (Eureka Math/EngageNY) > Rozdział 3

Lekcja 6: Temat F: Rozumowanie z podzielnością
Matematyka
4 klasa (Eureka Math/EngageNY)
Moduł 3: Mnożenie oraz dzielenie liczb wielocyfrowych
Temat F: Rozumowanie z podzielnością
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Dzielniki i wielokrotności

Google Classroom
Dowiedz się co to są czynniki i wielokrotności oraz jak są ze sobą powiązane.

Dzielniki i czynniki

Dzielniki danej liczby to takie liczby naturalne, przez które dana liczba dzieli się bez reszty.

Obrazowanie dzielników

Dzielniki pozwalają nam rozbić liczbę na mniejsze kawałki. Aby zobrazować sobie dzielniki 12 możemy ustawić kropki w mniejsze grupy o tym samym rozmiarze.
12 kropek może być ułożone w postaci start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 wiersza z start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 kropkami.
start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12

12 kropek może być też ułożone w start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff wierszy z start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff kropkami w wierszu.
start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12
Możemy też ułożyć 12 kropek w start color #f9685d, 3, end color #f9685d wiersze z start color #f9685d, 4, end color #f9685d kropkami w każdym z nich.
start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12
Gdy już znajdziemy wszystkie ustawienia, w jakich można ułożyć 12 kropek, możemy spojrzeć na liczbę wierszy i liczbę kropek w każdym z wierszy. Będą to dzielniki liczby 12.
start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, start color #f9685d, 3, end color #f9685d i start color #f9685d, 4, end color #f9685d są dzielnikami 12.
Możemy ułożyć kropek 12 jako rząd start color #1fab54, 5, end color #1fab54 kropek i rząd start color #e07d10, 7, end color #e07d10 kropek. Czy w takim razie start color #1fab54, 5, end color #1fab54 i start color #e07d10, 7, end color #e07d10 są dzielnikami 12?

Nie. start color #1fab54, 5, end color #1fab54 i start color #e07d10, 7, end color #e07d10 nie są dzielnikami, ponieważ kropki nie są podzielone na równoliczne grupy.
Które z poniższych ustawień są możliwe dla 18 kropek?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Jakie są więc dzielniki 18?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Znajdowanie dzielników bez rysowania kropek

Możemy znaleźć dzielniki 16 bez rysowania kropek. Wystarczy pomyśleć o liczbach, przez które można podzielić 16 bez reszty.
start color #11accd, 1, end color #11accdjest dzielnikiem 16, ponieważ 16 można podzielić przez start color #11accd, 1, end color #11accd bez reszty.
16, colon, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
Iloraz, który wynosi start color #11accd, 16, end color #11accd, comma to też dzielnik 16.
start color #1fab54, 2, end color #1fab54jest dzielnikiem 16, ponieważ 16 można podzielić przez start color #1fab54, 2, end color #1fab54 bez reszty.
16, colon, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
Iloraz, który wynosi start color #1fab54, 8, end color #1fab54, comma to też dzielnik 16.
start color #7854ab, 4, end color #7854abjest dzielnikiem 16, ponieważ 16 można podzielić przez start color #7854ab, 4, end color #7854ab bez reszty.
16, colon, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
IW tym wypadku ilorazem jest start color #7854ab, 4, end color #7854ab, o którym wiemy już, że jest dzielnikiem 16.
Dzielnikami 16 są start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54 i start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Liczby takie jak 3 i 5 nie są dzielnikami 16, ponieważ nie da się przez nie podzielić 16 bez reszty.
Użyj dzielenia, aby ustalić, które z poniższych liczb są dzielnikami 35.
Dzielnik/Czynnik
Nie dzielnik
1
2
3
5
7
35

Wskazówki dotyczące dzielników

Liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby.
1 jest dzielnikiem 10.
1 jest dzielnikiem 364.
1 jest dzielnikiem 5, comma, 787.
Każda liczba jest swoim dzielnikiem.
41 jest dzielnikiem 41.
128 jest dzielnikiem 128.
4379 jest dzielnikiem 4379.

Pary dzielników

Dwie liczby, które mnożymy ze sobą, aby otrzymać określony iloczyn, nazywa się parami dzielników. Aby otrzymać iloczyn równy 8, możemy pomnożyć start color #7854ab, 1, end color #7854ab times start color #7854ab, 8, end color #7854ab lub start color #1fab54, 2, end color #1fab54 times start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Parami dzielników liczby 8 są więc start color #7854ab, 1, end color #7854ab i start color #7854ab, 8, end color #7854ab oraz start color #1fab54, 2, end color #1fab54 i start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Układanie kropek w grupy tego samego rozmiaru pomaga nam zobaczyć, że dzielniki zawsze pojawiają się parami. Jednym z dzielników jest liczba wierszy. Drugim dzielnikiem jest liczba kropek w każdym z wierszy.

Znajdźmy pary dzielników liczby 20. Zapamiętaj: szukamy dwóch pełnych liczb (czyli liczb naturalnych), które po pomnożeniu przez siebie dadzą 20.
Zaczniemy od start color #11accd, 1, end color #11accd, ponieważ wiemy, że start color #11accd, 1, end color #11accd jest dzielnikiem każdej liczby. Mnożymy start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd aby otrzymać 20, a więc start color #11accd, 20, end color #11accd też jest dzielnikiem. Możemy zapisać te liczby jako brzegowe elementy listy, zostawiając w środku miejsce na więcej dzielników.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #11accd, 20, end color #11accd
Sprawdźmy, czy następna liczba naturalna, 2, jest dzielnikiem.
Czy istnieje liczba naturalna, którą możemy pomnożyć przez start color #1fab54, 2, end color #1fab54, aby otrzymać 20? Tak. start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. Oznacza to, że start color #1fab54, 2, end color #1fab54 i start color #1fab54, 10, end color #1fab54 są kolejną parą dzielników.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #1fab54, 2, end color #1fab54start color #1fab54, 10, end color #1fab54start color #11accd, 20, end color #11accd
Następną liczbą naturalną jest 3. Czy istnieje liczba naturalna, którą możemy pomnożyć przez 3, aby otrzymać 20? Nie. 3 nie jest więc dzielnikiem 20.
Możemy pomnożyć start color #e84d39, 4, end color #e84d39 przez pewną liczbę naturalną tak, aby otrzymac 20? Tak. start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. Liczby start color #e84d39, 4, end color #e84d39 i start color #e84d39, 5, end color #e84d39 są kolejną parą dzielników.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #1fab54, 2, end color #1fab54start color #e84d39, 4, end color #e84d39start color #e84d39, 5, end color #e84d39start color #1fab54, 10, end color #1fab54start color #11accd, 20, end color #11accd
Następną liczbą naturalną jest 5. Ponieważ 5 znajduje się już na naszej liście, wiemy że znaleźliśmy wszystkie pary dzielników 20.
Dopasuj pary dzielników 40.
1

Wielokrotności

Wielokrotności są liczbami, które otrzymujemy z mnożenia jednej liczby naturalnej przez inną liczbę naturalną. Pierwszymi czterema wielokrotnościami liczby start color #6495ed, 3, end color #6495ed są 3, comma, 6, comma, 9 i 12, ponieważ:
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 1, equals, 3
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 2, equals, 6
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 3, equals, 9
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 4, equals, 12
Innymi wielokrotnościami start color #6495ed, 3, end color #6495ed są 15, comma, 30 i 300.
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 5, equals, 15
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 10, equals, 30
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 100, equals, 300
Nie uda nam się nigdy wypisać wszystkich wielokrotności danej liczby. Na przykład, 3 może być pomnożone przez nieskończenie wiele liczb naturalnych, przez co możemy otrzymać nieskończenie wiele nowych wielokrotności.

Ćwiczenia

Pierwszą wielokrotnością każdej liczby jest ta liczba.
7, times, 1, equals, 7.
Jakie są dwie kolejne wielokrotności 7?
7, times, 2, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7, times, 3, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Lista pokazuje wielokrotności 4.
4, comma, 8, comma, 12, comma, 16, comma, point, point, point
Jaka jest kolejna wielokrotność 4?
Wybierz 1 odpowiedź:

Lista pokazuje wielokrotności 8.
Wpisz brakujące wielokrotności.
8, comma, 16,
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
, 32, comma, 40, comma, 48,
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
...

Które z poniższych liczb są wielokrotnościami 6?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Obrazowanie wielokrotności

Następujący rysunek pokazuje wielokrotności 4.
4, times, 1, equals, 4
4, times, 2, equals, 8
4, times, 3, equals, 12
Kolejne okienko będzie pokazywać kolejną wielokrotność 4.
Ile biedronek znajdzie się w kolejnym okienku?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
biedronek.

Co łączy dzielniki z wielokrotnościami?

Liczby start color #e07d10, 4, end color #e07d10 i start color #1fab54, 7, end color #1fab54 są obie dzielnikami start color #11accd, 28, end color #11accd, gdyż przez obie z nich można podzielić start color #11accd, 28, end color #11accd bez reszty.
start color #11accd, 28, end color #11accd jest wielokrotnością start color #e07d10, 4, end color #e07d10, comma ale jest też wielokrotnością start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
Użyj liczb 32 i 4 do uzupełnienia poniższych zdań.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
jest dzielnikiem
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
jest wielokrotnością
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

Ćwiczenia z dzielników i wielokrotności

Które z poniższych są dzielnikami 10?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Które z poniższych są wielokrotnościami 10?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Wiemy, że 9, times, 6, equals, 54.
Które z poniższych stwierdzeń są również prawdziwe ?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadania z dzielników i wielokrotności

Dzielniki i wielokrotności są przydatne w zadaniach dotyczących długości boków i pól prostokątów.
Prostokąt ma powierzchnię 50 centymetrów kwadratowych.
Które z poniższych moglyby być długościami boków tego prostokąta?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Pan Słodkowski wyłożył na stół 36 ciasteczek dla jego uczniów uczęszczających na prowadzone przez niego kółko artystyczne.
Jeżeli ułoży ciasteczka w 3 rzędach, to otrzyma
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
ciasteczek w każdym z rzędów.
Jeżeli ułoży ciasteczka w
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
rzędach, to otrzyma 4 ciasteczka w każdym z rzędów.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.