Główna zawartość

4 klasa (Eureka Math/EngageNY)

Kurs: 4 klasa (Eureka Math/EngageNY) > Rozdział 3

Lekcja 6: Temat F: Rozumowanie z podzielnością

Dzielniki i wielokrotności

Google Classroom

Dowiedz się co to są czynniki i wielokrotności oraz jak są ze sobą powiązane.

Dzielniki i czynniki

Dzielniki danej liczby to takie liczby naturalne, przez które dana liczba dzieli się bez reszty.

Obrazowanie dzielników

Dzielniki pozwalają nam rozbić liczbę na mniejsze kawałki. Aby zobrazować sobie dzielniki

12

możemy ustawić kropki w mniejsze grupy o tym samym rozmiarze.

12

kropek może być ułożone w postaci

1

wiersza z

12

kropkami.

1 \times 12 = 12

12

kropek może być też ułożone w

2

wierszy z

6

kropkami w wierszu.

2 \times 6 = 12

Możemy też ułożyć

12

kropek w

3

wiersze z

4

kropkami w każdym z nich.

3 \times 4 = 12

[A co z 4 rzędami z 3 kropkami?]

Gdy już znajdziemy wszystkie ustawienia, w jakich można ułożyć

12

kropek, możemy spojrzeć na liczbę wierszy i liczbę kropek w każdym z wierszy. Będą to dzielniki liczby

12

1

12

2

6

3

4

są dzielnikami

12

Możemy ułożyć kropek

12

jako rząd

5

kropek i rząd

7

kropek. Czy w takim razie

5

7

są dzielnikami

12

Nie.

5

7

nie są dzielnikami, ponieważ kropki nie są podzielone na równoliczne grupy.

Które z poniższych ustawień są możliwe dla $18$ ‍ kropek?

[Pokaż odpowiedź]

Jakie są więc dzielniki $18$ ‍?

[Pokaż odpowiedź]

Znajdowanie dzielników bez rysowania kropek

Możemy znaleźć dzielniki

16

bez rysowania kropek. Wystarczy pomyśleć o liczbach, przez które można podzielić

16

bez reszty.

1

jest dzielnikiem

16

, ponieważ

16

można podzielić przez

1

bez reszty.

16 : 1 = 16

Iloraz, który wynosi

16,

to też dzielnik

16

2

jest dzielnikiem

16

, ponieważ

16

można podzielić przez

2

bez reszty.

16 : 2 = 8

Iloraz, który wynosi

8,

to też dzielnik

16

4

jest dzielnikiem

16

, ponieważ

16

można podzielić przez

4

bez reszty.

16 : 4 = 4

IW tym wypadku ilorazem jest

4

, o którym wiemy już, że jest dzielnikiem

16

Dzielnikami

16

są

1, 16

2, 8

4

Liczby takie jak

3

5

nie są dzielnikami

16

, ponieważ nie da się przez nie podzielić

16

bez reszty.

Użyj dzielenia, aby ustalić, które z poniższych liczb są dzielnikami $35$ ‍.

	Dzielnik/Czynnik	Nie dzielnik
$1$ ‍
$2$ ‍
$3$ ‍
$5$ ‍
$7$ ‍
$35$ ‍

[Pokaż odpowiedź]

Wskazówki dotyczące dzielników

Liczba

1

jest dzielnikiem każdej liczby.

1

jest dzielnikiem

10

1

jest dzielnikiem

364

1

jest dzielnikiem

5, 787

Każda liczba jest swoim dzielnikiem.

41

jest dzielnikiem

41

128

jest dzielnikiem

128

4379

jest dzielnikiem

4379

Pary dzielników

Dwie liczby, które mnożymy ze sobą, aby otrzymać określony iloczyn, nazywa się parami dzielników. Aby otrzymać iloczyn równy

8

, możemy pomnożyć

1

\times

8

lub

2

\times

4

. Parami dzielników liczby

8

są więc

1

8

oraz

2

4

Układanie kropek w grupy tego samego rozmiaru pomaga nam zobaczyć, że dzielniki zawsze pojawiają się parami. Jednym z dzielników jest liczba wierszy. Drugim dzielnikiem jest liczba kropek w każdym z wierszy.

Znajdźmy pary dzielników liczby

20

. Zapamiętaj: szukamy dwóch pełnych liczb (czyli liczb naturalnych), które po pomnożeniu przez siebie dadzą

20

Zaczniemy od

1

, ponieważ wiemy, że

1

jest dzielnikiem każdej liczby. Mnożymy

1 \times 20

aby otrzymać

20

, a więc

20

też jest dzielnikiem. Możemy zapisać te liczby jako brzegowe elementy listy, zostawiając w środku miejsce na więcej dzielników.


$1$ ‍					$20$ ‍

Sprawdźmy, czy następna liczba naturalna,

2

, jest dzielnikiem.

Czy istnieje liczba naturalna, którą możemy pomnożyć przez

2

, aby otrzymać

20

? Tak.

2 \times 10 = 20

. Oznacza to, że

2

10

są kolejną parą dzielników.


$1$ ‍	$2$ ‍			$10$ ‍	$20$ ‍

Następną liczbą naturalną jest

3

. Czy istnieje liczba naturalna, którą możemy pomnożyć przez

3

, aby otrzymać

20

? Nie.

3

nie jest więc dzielnikiem

20

Możemy pomnożyć

4

przez pewną liczbę naturalną tak, aby otrzymac

20

? Tak.

4 \times 5 = 20

. Liczby

4

5

są kolejną parą dzielników.


$1$ ‍	$2$ ‍	$4$ ‍	$5$ ‍	$10$ ‍	$20$ ‍

Następną liczbą naturalną jest

5

. Ponieważ

5

znajduje się już na naszej liście, wiemy że znaleźliśmy wszystkie pary dzielników

20

Dopasuj pary dzielników $40$ ‍.

1

[Pokaż odpowiedź]

[Czy liczy się kolejność par dzielników?]

Wielokrotności

Wielokrotności są liczbami, które otrzymujemy z mnożenia jednej liczby naturalnej przez inną liczbę naturalną. Pierwszymi czterema wielokrotnościami liczby

3

są

3, 6, 9

12

, ponieważ:

3 \times 1 = 3

3 \times 2 = 6

3 \times 3 = 9

3 \times 4 = 12

Innymi wielokrotnościami

3

są

15, 30

300

3 \times 5 = 15

3 \times 10 = 30

3 \times 100 = 300

Nie uda nam się nigdy wypisać wszystkich wielokrotności danej liczby. Na przykład,

3

może być pomnożone przez nieskończenie wiele liczb naturalnych, przez co możemy otrzymać nieskończenie wiele nowych wielokrotności.

Ćwiczenia

Pierwszą wielokrotnością każdej liczby jest ta liczba.

7 \times 1 = 7

Jakie są dwie kolejne wielokrotności $7$ ‍?

7 \times 2 =

7 \times 3 =

[Pokaż odpowiedź]

Lista pokazuje wielokrotności

4

4, 8, 12, 16, …

Jaka jest kolejna wielokrotność $4$ ‍?

[Pokaż odpowiedź]

Lista pokazuje wielokrotności

8

Wpisz brakujące wielokrotności.

8, 16

32, 40, 48

...

[Pokaż odpowiedź]

Które z poniższych liczb są wielokrotnościami $6$ ‍?

[Pokaż odpowiedź]

Obrazowanie wielokrotności

Następujący rysunek pokazuje wielokrotności

4

4 \times 1 = 4

4 \times 2 = 8

4 \times 3 = 12

Kolejne okienko będzie pokazywać kolejną wielokrotność

4

Ile biedronek znajdzie się w kolejnym okienku?

biedronek.

[Pokaż odpowiedź]

Co łączy dzielniki z wielokrotnościami?

Liczby

4

7

są obie dzielnikami

28

, gdyż przez obie z nich można podzielić

28

bez reszty.

28

jest wielokrotnością

4,

ale jest też wielokrotnością

7

Użyj liczb $32$ ‍ i $4$ ‍ do uzupełnienia poniższych zdań.

jest dzielnikiem

jest wielokrotnością

[Pokaż odpowiedź]

Zadania z dzielników i wielokrotności

Dzielniki i wielokrotności są przydatne w zadaniach dotyczących długości boków i pól prostokątów.

[Przypomnij mi proszę, jak znaleźć pole prostokąta.]

Prostokąt ma powierzchnię

50

centymetrów kwadratowych.

Które z poniższych moglyby być długościami boków tego prostokąta?

[Pokaż odpowiedź]

Pan Słodkowski wyłożył na stół

36

ciasteczek dla jego uczniów uczęszczających na prowadzone przez niego kółko artystyczne.

Jeżeli ułoży ciasteczka w $3$ ‍ rzędach, to otrzyma
Prawidłowa odpowiedź to:
liczba całkowita, taka jak $6$ ‍
właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍
niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍
liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍
dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍
wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍
ciasteczek w każdym z rzędów.

Jeżeli ułoży ciasteczka w
Prawidłowa odpowiedź to:
liczba całkowita, taka jak $6$ ‍
właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍
niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍
liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍
dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍
wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍
rzędach, to otrzyma $4$ ‍ ciasteczka w każdym z rzędów.