Liczby pierwsze

Tym razem wyjaśnię, co to znaczy… co to jest liczba pierwsza. Zobaczycie, że za tym pojęciem kryje się bardzo prosta zasada. Jednak na dalszym etapie nauki matematyki przekonacie się że na liczbach pierwszych bazuje kilka dość zaawansowanych dziedzin wiedzy. Na przykład kryptografia. Możliwe, że nawet wasz komputer używa szyfrowania opartego o liczby pierwsze. Jeśli nie wiecie, co to jest szyfrowanie, nie przejmujcie się. Chciałem tylko pokazać, że liczby pierwsze są bardzo ważne. Podam teraz definicję, która może wydać się niejasna ale gdy pokażę przykłady, zapewne wszystko stanie się oczywiste. A więc: liczba pierwsza to taka liczba naturalna liczba naturalna… A liczba naturalna to, dla przypomnienia na przykład 1, 2, 3, czyli wyliczanka od jednego dodatnie liczby całkowite. …to taka liczba naturalna która jest podzielna która jest podzielna dokładnie przez dwie liczby, a właściwie przez dwie inne liczby naturalne. Przepraszam, nie inne. Po prostu: przez dwie liczby naturalne. A więc: podzielna dokładnie przez dwie liczby naturalne. Przez siebie samą… oraz przez 1. Dlatego nie mogłem powiedzieć „przez dwie inne liczby” bo jedna z nich to ona sama. Jeśli nie rozumiecie, zróbmy kilka przykładów i sprawdźmy, które liczby są pierwsze. Zacznijmy od najmniejszej liczby naturalnej, czyli 1. Popatrzmy, 1 jest podzielne przez 1 a także przez siebie. Wydaje się, że 1 to liczba pierwsza. Definicja mówi jednak: „podzielna dokładnie przez dwie liczby naturalne”. A 1 dzieli się tylko przez jedną liczbę. Dlatego, choć to może wydawać się dziwne 1 nie jest liczbą pierwszą. A co z liczbą 2? Zajmijmy się nią. 2 jest podzielne przez 1 i przez 2 i na tym koniec. Spełnia więc kryteria: jest podzielna przez dwie liczby naturalne. Przez siebie samą, czyli przez 2 i przez 1. 2 jest zatem liczbą pierwszą. Będę zakreślał liczby pierwsze… Może wybiorę jakiś inny kolor. Albo po prostu je pozakreślam. No to teraz 3. 2 jest ciekawe, bo to jedyna parzysta liczba pierwsza. Wszystkie inne liczby parzyste są podzielne przez 2 oprócz siebie samych i 1, więc nie są liczbami pierwszymi. Omówię to innym razem. Zbadajmy 3. 3 jest podzielne przez 1 i 3 i nic poza tym, bo przecież nie dzieli się przez 2. Zatem 3 także jest liczbą pierwszą. Teraz 4. Wybiorę inny kolor. 4 jest podzielne przez 4 i 1 ale także przez 2, bo 2 × 2 = 4. Dzieli się przez 2 a więc w sumie przez trzy liczby naturalne Przez 1, 2 i 4. Nie spełnia więc kryteriów liczby pierwszej. Spróbujmy 5. 5 dzieli się oczywiście przez 1 lecz nie dzieli się przez 2, ani przez 3, ani przez 4… Nie dzieli się bez reszty. Da się podzielić, ale wyjdzie ułamek. …i dzieli się bez reszty przez 5, oczywiście. Znów mamy więc liczbę podzielną przez dokładnie dwie liczby naturalne: 1 i 5. 5 jest zatem liczbą pierwszą. Sprawdzajmy dalej, może wyłoni się jakaś reguła. Wezmę jakąś trudną liczbę, z którą są kłopoty. Dajmy na to… liczbę 6. 6 jest podzielne przez 1 jest podzielne przez 2 jest podzielne przez 3, nie jest przez 4 ani 5 i jest przez 6. 6 jest zatem podzielne przez cztery liczby. Ma cztery naturalne dzielniki. Nie jest podzielna przez dokładnie dwie liczby a przez cztery! Nie jest więc liczbą pierwszą. Spróbujmy 7. 7 dzieli się przez 1 ale nie przez 2, 3, 4, 5 ani 6. Jest za to podzielna przez 7. 7 jest liczbą pierwszą. Myślę, że już rozumiecie. Ile liczb naturalnych… Takich jak 1, 2, 3, 4, 5, 6, znacie je z przedszkola… Nie licząc zera, liczb ujemnych, ułamków liczb rzeczywistych ani całej reszty a tylko dodatnie liczby naturalne… Jeśli dana liczba dzieli się tylko przez dwie z nich: siebie i 1 to jest liczbą pierwszą. Pomijając szczególny przypadek liczby 1 liczby pierwsze są jak arytmetyczne cegiełki. Nie da się ich dalej rozbić. Są jak atomy – oczywiście w czasach, gdy wierzono że atomy są niepodzielne. Dziś wiemy, że da się je rozbić, co czasem skutkuje nuklearną eksplozją. Tak samo jest z liczbami pierwszymi. W teorii… Właściwie to nie jest teoria. Wiemy, że liczby pierwszej nie da się rozbić na iloczyn mniejszych liczb naturalnych. Na przykład 6. 6 = 2 × 3, da się je rozbić. Zauważmy, że to iloczyn dwóch liczb pierwszych. Rozbiliśmy 6 na czynniki pierwsze. Liczby 7 nie da się tak rozbić. Można tylko napisać, że 7 = 1 × 7 A to przecież nie jest rozbijanie, bo 7 jest jak było. Tymczasem 6 dało się rozbić. 4 też da się rozbić jako 2 × 2. Zajmijmy się teraz większymi liczbami. Sprawdźmy, czy są liczbami pierwszymi. Dajmy na to… 16 Każda liczba jest podzielna przez 1 i siebie samą. 16 dzieli się zatem przez 1 i 16. Te dwa dzielniki są zawsze. Jeśli znajdzie się więcej, to liczba nie jest pierwsza. A 16 to 2 × 8 i 4 × 4 Ma więc sporo dzielników. Nie tylko 1 i 16. Dlatego 16 nie jest liczbą pierwszą. A 17? Wśród dzielników na pewno są 1 i 17. Nie dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Żadna z liczb pomiędzy 1 a 17 nie jest dzielnikiem 17. 17 jest zatem liczbą pierwszą. Teraz trudna liczba. Która zaskakuje wiele osób. 51. Czy jest liczbą pierwszą? Czy 51 to liczba pierwsza? Może zastopujcie wideo i spróbujcie sami sprawdzić czy 51 to liczba pierwsza. Jeśli znajdziecie jakąkolwiek liczbę inną niż 1 i 51 przez którą 51 dzieli się bez reszty… Liczba 51 wygląda dziwnie. Łatwo ją uznać za liczbę pierwszą ale powiem wam prawdę. Nie jest pierwsza ponieważ dzieli się jeszcze przez 3 i 17. 3 × 17 = 51 Mam nadzieję, że rozumiecie już czym są liczby pierwsze. Myślę, że poćwiczymy to jeszcze w kolejnych prezentacjach.