Pojęcia i oznaczenia w geometrii

Tym razem chciałbym nieco wprowadzić was w język geometrii, czyli w pewne… pewne… pojęcia, jakie stosujemy mówiąc o geometrii. Najlepiej zacząć od znaczenia samego słowa „geometria”. Jak widzicie, pierwsza część słowa „geometria” to „geo”. Tak samo, jak w słowach „geografia”, czy „geologia”. „Geos” to po grecku „ziemia”. To „G” wygląda jak „C”. „Geo” odnosi się do ziemi. Druga część słowa to „metria”, tak samo, jak w słowach „trygonometria”, czy „system metryczny”. „Metria” to po grecku tyle, co „miara” albo „mierzenie”. Czyli słowo „geometria” znaczy „mierzyć ziemię”. To całkiem dobra nazwa, bo właśnie tym się zajmuje. Geometria to dziedzina nauki, która stara się zrozumieć, jak figury, przestrzeń… i rzeczy, które widzimy, są powiązane ze sobą. Poznając geometrię, będziecie się uczyć o liniach, trójkątach, okręgach i kątach, którymi później zajmiemy się bardziej szczegółowo. Geometria to także wzory geometryczne i bryły. Prawie wszystko, co widzimy, wszystko, w czym dostrzegamy matematyczne zależności, da się opisać za pomocą geometrii. Ale zostawmy to i zajmijmy się podstawowymi pojęciami geometrii, a potem będziemy iść dalej. Zacznijmy od punktu. To ta kropka. Taką małą kropkę, jaką widzicie na ekranie, nazywamy punktem. Zaraz podam definicję. W matematyce można tworzyć definicje. Moglibyśmy powiedzieć, że to „mucha”, ale nazwano taką kropkę punktem, co ma sens, bo tak samo mówimy w języku potocznym. To jest punkt. Cechą charakterystyczną punktu jest to, że nie ma wymiarów. Nie można się po nim poruszać. Gdybyście byli w tym punkcie i ruszyli w którąkolwiek stronę, to przestalibyście w nim być. Nie można się w nim poruszać. Ale punkty bywają różne. Jeden punkt mamy tutaj, drugi dajmy tutaj. I jeszcze jeden tutaj. I tutaj. Przydałoby się jakoś je rozróżnić. Nie każdy ma takie kolorowe pisaki jak ja, i może zrobić zielony punkt, niebieski, albo różowy. Dlatego w geometrii punkty opisuje się symbolami, zazwyczaj literowymi. Niech to będzie punkt A, to punkt B, to punkt C, a ten nazwijmy D. Jeśli ktoś powie: zakreśl punkt C; wiesz, o który mi chodzi! to będziemy wiedzieli, że mamy zakreślić ten punkt tutaj. Jak dotąd jest ciekawie. Mamy już punkty, po których nie można się poruszać, bo nie mają wymiarów. A co, gdybyśmy chcieli przejść z jednego punktu do drugiego? Gdybyśmy chcieli wyjść z jednego punktu i uwzględnić wszystkie punkty – wraz z tym punktem które łączą go z drugim punktem? Wszystkie te punkty. Jak nazwać wszystkie te punkty… wszystkie punkty łączące A i B, leżące na tej linii? Używam tu języka potocznego: powiedziałem „linia”. Lecz poprawnie, ten element to „odcinek”. W języku potocznym to „linia”, ale my powiemy „odcinek”, bo w języku matematyki, „linia” znaczy coś trochę innego. Czyli to jest odcinek. Gdy połączymy D i C, powstanie kolejny odcinek. Odcinek. I znów: nie zawsze możemy posługiwać się kolorami. Tu mamy odcinek pomarańczowy oraz żółty. Musimy więc jakoś inaczej oznaczać odcinki. W geometrii, oznacza się je nazwami ich końców. To kolejne ważne słowo. A i B to po prostu punkty, lecz są także końcami odcinka, który zaczyna się i kończy w A i B. Zapiszmy to: A i B… A i B… to końce odcinka. I mamy kolejną definicję. Moglibyśmy mówić „szczypawka” albo „cholagoga”, ale nazwaliśmy je „końcami odcinka”, bo to całkiem dobra nazwa. Zatem musimy jakoś opisać wszystkie punkty odcinka razem z jego końcami, a najprościej opisać odcinek przy pomocy jego końców. Opiszmy ten odcinek. To jego końce, a żeby zaznaczyć, że to odcinek, na górze dodajemy taką kreskę. Dolny odcinek opiszemy tak: Moglibyśmy też tak: CD z kreską na górze, bo to ten sam odcinek. BA pisane z kreską na górze także opisuje ten odcinek. Ale możecie powiedzieć, że nie wystarcza wam przechodzenie między punktami A i B. I tu kolejna właściwość punktów. Gdy byliśmy w punkcie A, nie mogliśmy się poruszyć. Nie mogliśmy wykonać najmniejszego ruchu w żadnym kierunku. Mieliśmy zero możliwości ruchu, ani w lewo, prawo, w górę, w dół, ani nawet w przód lub w tył. Dlatego mówimy, że punkt ma wymiary zerowe, lub że jest bezwymiarowy. Ale wróćmy do naszego odcinka. Po odcinku możemy poruszać się w lewo i w prawo, w kierunku A lub w kierunku B. Poruszamy się zatem tylko w jednym wymiarze, dlatego odcinek to jednowymiarowe… jednowymiarowe pojęcie, lub raczej jednowymiarowy obiekt… Oba te pojęcia są dość abstrakcyjne. W życiu odcinki nie występują, bo nic, co znajduje się na takim odcinku nie może się poruszać w górę czy w dół, a w rzeczywistości, wszystko, co uznajemy za odcinek, na przykład… jakiś wyjątkowo prosty patyk albo naprężony sznurek, wszystko to ma jakąś grubość. Natomiast odcinek geometryczny nie ma grubości ma tylko długość, więc można się poruszać tylko po tej linii. Dlatego jest jednowymiarowy. W punkcie nie można się ruszyć, a po odcinku można się ruszać tylko w jednym kierunku. Powiedziałem, że odcinek ma długość. Jak to zapisać? Robimy to, nie pisząc kreski nad literkami. Gdy piszę AB z kreską na górze, to znaczy, że odnoszę się do odcinka AB. Jeśli napiszę… Wezmę inny kolor. Jeśli napiszę: AB = 5 cali, metrów albo czegoś innego, po prostu 5 jednostek, to znaczy to, że odległość między A i B wynosi 5, czyli długość odcinka AB wynosi 5 jednostek. Idźmy dalej. Załóżmy, że chcemy iść dalej w tym kierunku. Zaczynamy w punkcie A… Wezmę inny kolor. Zaczynamy w A i chcemy iść do D, ale w taki sposób, aby nie zatrzymywać się w tym punkcie. Nie chcę iść dalej poza punkt A, natomiast chcę iść dalej poza punkt D. Narysowana przeze mnie idea zawiera w sobie odcinek AD, ale wychodzi poza jego koniec. Coś takiego nazywamy „półprostą”. Punkt, z którego wychodzi, nosi nazwę początku półprostej. Punkty w geometrii miewają różne nazwy. Tu punkt A jest początkiem półprostej. Jest też końcem odcinka, więc może na razie zmażę tę nazwę. Półprosta także jest figurą jednowymiarową, ale można się na niej poruszać… Można się na niej poruszać w jednym kierunku bez końca. Półprostą opisujemy następująco: AD z umieszczoną na górze strzałką, wskazującą kierunek półprostej. W tym przypadku, kolejność liter ma znaczenie. Gdybym napisał DA z taką strzałką, to byłaby inna półprosta. Zaczynałaby się w punkcie D i wychodziła poza A. To nie półprosta DA, tylko półprosta AD. Pewnie zastanawiacie się nad tym, co by było, gdybyśmy mogli poruszać się bez końca w obu kierunkach? Załóżmy, że mogę… Zaczyna się tu robić bałagan, więc wprowadźmy nowe punkty: punkt E… i punkt F. I załóżmy, że tworzymy tu figurę, która przechodzi przez punkty E i F, i wychodzi poza nie w obu kierunkach. W języku geometrii, taką figurę nazywamy „linią prostą” lub „prostą”. Zauważcie, prosta nie ma końców. Można nią iść do woli w obu kierunkach. Odcinek ma końce, poza które nie można wyjść, a prosta nie ma. Mówiąc ściśle, odcinek to „odcinek prostej”. Prostą EF oznaczamy… taką strzałką z dwoma grotami. W geometrii, najczęściej będziecie widywali takie oznaczenia, bo będziemy omawiać rozmiary, kształty i odległości między punktami. Z każdym z tych pojęć związana jest określona, skończona długość, a nie coś, co ciągnie się w nieskończoność. Dlatego opisujemy te pojęcia za pomocą odcinków. Ale zostawmy odcinki, bo czas na kolejne słowa, jakie możecie spotkać w geometrii. Jeśli weźmiemy prostą… To półprosta. Załóżmy, że mamy punkty X i Y oraz odcinek XY, który opisujemy w taki sposób. Dodam kolejny punkt, powiedzmy tutaj – punkt Z. I teraz nowe pojęcie: Jeśli punkty X, Y i Z leżą na tej samej prostej; na linii ciągnącej się w nieskończoność w obu kierunkach, to możemy powiedzieć, że są „współliniowe”. Punkty X, Y i Z są współliniowe. Wszystkie leżą na tej samej prostej I wszystkie należą do odcinka XY. Teraz załóżmy, że odcinki XZ i ZY są równe i że są współliniowe. Wynika z tego, że odległość między X a Z jest dokładnie taka sama, jak między Z a Y. Czasem oznacza się to w taki sposób: ta długość jest taka sama jak ta. A skoro tak, to Z leży dokładnie w połowie drogi między X a Y. W takim przypadku mówimy, że Z to punkt środkowy. To punkt środkowy odcinka XY. Bo leży w połowie drogi. Mówiliśmy o obiektach bezwymiarowych, o punktach. Mówiliśmy o figurach jednowymiarowych: prostych, półprostych i odcinkach. Spytacie: a co ma 2 wymiary? Taki obiekt musi pozwalać na ruch w dwóch nieprzeciwnych kierunkach. Ta strona… czy monitor, na który patrzycie, to obiekt dwuwymiarowy. Mogę ruszać się w lewo i w prawo, to jeden wymiar; oraz w górę i w dół. Tak więc… powierzchnia monitora ma 2 wymiary. Dwa wymiary. Można poruszać się w dwóch różnych kierunkach. Obiekty dwuwymiarowe nazywamy płaskimi lub płaszczyznami. Gdyby wziąć kartkę papieru, rozciągającą się w nieskończoność we wszystkie strony, to w geometrii byłaby to płaszczyzna. Kartka papieru nie jest nieskończona, więc nie służy za przykład na typowych lekcjach geometrii, ale gdyby się uprzeć, kartkę można by nazwać wycinkiem płaszczyzny, bo to fragment większego obiektu. Gdyby dodać trzeci wymiar, uzyskalibyśmy przestrzeń trójwymiarową. W przestrzeni można się ruszać nie tylko w pionie i w poziomie, lecz także w kierunku ekranu i odwrotnie. Jest także wymiar, który spróbuję narysować: możemy wejść w głąb ekranu albo z niego wyjść. Kiedy zajmiemy się wyższą matematyką… Trudno to sobie wyobrazić. …przekonacie się, że są obiekty mające więcej niż 3 wymiary.