If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Średnia jako punkt równowagi

Odkryj, dlaczego możemy uznać średnią arytmetyczną za punkt równowagi danego rozkładu danych.
Wiesz już jak obliczyć średnią, dodając do siebie wszystkie dane i dzieląc przez ich liczbę. W tym artykule zastanowimy się nad interpretacją średniej jako punktu równowagi. Zaczynamy!

Część 1: obliczanie wartości średniej

Oblicz wartość średnią z {5,7}.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Oblicz wartość średnią z {5,6,7}.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Ciekawe! W pierwszych dwóch zadaniach dane były "w równowadze" wokół liczby sześć. Spróbuj rozwiązać następne zadanie nie dodając do siebie wartości i nie dzieląc przez liczbę punktów. Zamiast tego, zastanów się gdzie leży punkt równowagi tych danych.
Oblicz wartość średnią z {1,3,5}.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zauważ, jak 1 i 5 są "w równowadze" po przeciwnych stronach 3:
Oblicz wartość średnią z {4,7,10}.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Czy widzisz już jak dane są zawsze w równowadze wokół średniej? Spróbujmy zastanowić się nad kolejnymi zadaniami!
Oblicz wartość średnią z {2,3,5,6}.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Część 2: inny sposób myślenia o średniej

Zauważyliście pewnie w części 1 że w przypadku niezbyt licznych zbiorów danych można wyznaczyć wartość średnią bez obliczania sumy i dzielenia przez liczbę obserwacji.
Kluczowy pomysł: możemy myśleć o wartości średniej jako o punkcie równowagi zbioru danych , co jest nieco ekstrawaganckim sposobem powiedzenia, że średnia to taki punkt na osi liczbowej, dla którego suma odległości od punktów leżących powyżej jest równa sumie odległości od punktów leżących poniżej. Można to wyrazić jeszcze inaczej: gdyby początek osi liczbowej przenieść w miejsce, gdzie znajduje się średnia, to wartość średnia byłaby równa zero.

Przykład

W częśći 1, przekonaliśmy się, że wartość średnia zbioru {2,3,5,6} wynosi 4. Łatwo się przekonać, że rzeczywiście suma odległości punktu średniej od punktów danych leżących poniżej średniej jest równa sumie odległości od punktów leżących powyżej średniej: 1+2=1+2:

Pytania do zastanowienia

Ile wynosi w tym przykładzie suma odległości punktu średniej od punktów danych leżących poniżej średniej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Ile wynosi w tym przykładzie suma odległości punktu średniej od punktów danych leżących powyżej średniej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Część 3: czy średnia jest zawsze punktem równowagi danych?

Tak! Jest to związane z tą tajemniczą obserwacją, którą uczyniliśmy powyżej, a mianowicie, że gdyby przenieść początek osi liczbowej do punktu średniej, to średnia wyniosłaby zero. Średnia jest zawsze punktem równowagi zbioru danych, tylko czasem można to od razu zobaczyć, a czasem trzeba się zastanowić.
Rozważmy na przykład zbiór {2,3,6,9}.
Wartość średnią obliczymy w ten sposób:
2+3+6+94=5
I rzeczywiście, suma odległości punktu średniej od punktów danych leżących poniżej średniej jest równa sumie odległości od punktów leżących powyżej średniej, ponieważ 2+3=1+4:

Część 4: ćwiczenia

Zadanie 1

Która z tych pionowych linii opisuje położenie wartości średniej zbioru, zaznaczonego na poniższym rysunku?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2

Która z tych pionowych linii opisuje położenie wartości średniej zbioru, zaznaczonego na poniższym rysunku?
Wybierz 1 odpowiedź:

Sprawdź, czy rozumiesz

Wartość średnia zbioru składającego się z czterech punktów danych wynosi 5. Trzy spośród tych czterech punktów i wartość średnią zaznaczono na rysunku poniżej.
Gdzie znajduje się czwarty punkt?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.