Objętość i pole powierzchni walca

Obliczmy objętość jeszcze kilku brył a jeśli starczy czasu, zajmiemy się też polem powierzchni. Narysujmy walec. To jest górna podstawa walca… to jest bok… a to jest dolna podstawa. Gdyby walec był przeźroczysty, widzielibyśmy tylną krawędź podstawy. To coś w rodzaju puszki coli. Załóżmy, że wysokość tego walca wynosi h = 8. Powiedzmy 8 cm. To jest wysokość walca. Natomiast promień podstawy mojego walca lub puszki z napojem wynosi r = 4 cm. Pytanie brzmi: jaką objętość ma ta bryła? Jaką objętość ma walec? Ogólne podejście jest podobne, jak w przypadku graniastosłupów. Oblicza się, ile miejsca zajmuje podstawa, a potem mnoży się to przez wysokość. Obliczymy więc pole powierzchni tej górnej podstawy walca wieczka naszej puszki a potem pomnożymy przez wysokość. To nam powie, ile cm² zajmuje podstawa. Jeśli potem przemnożymy to przez centymetry wysokości otrzymamy objętość tego walca lub tej puszki w cm³. Jak obliczyć pole tej ściany? Ma kształt koła, więc użyjemy wzoru na pole koła. Narysujmy ją tak, jakbyśmy patrzyli na nią na wprost. To jest środek i promień 4 cm. Wzór na pole koła to Πr² a więc tu będziemy mieli Π * (4 cm)² 4² to 16… razy Π… a jednostką będą cm do kwadratu czyli cm² (kwadratowe). To jest pole tej ściany. Objętość równa się to pole razy wysokość. objętość = 16Π cm²... razy wysokość 8 cm. objętość = 16Π cm² * 8 cm Mnożąc wiele czynników można je dowolnie przestawiać. Nie ma znaczenia, w jakiej kolejności mnoży się liczby. To jest więc to samo, co 16 * 8… (8 razy 8 to 64, razy 2)… to będzie 128… 128Π... cm² * cm to cm³. 128Π cm³ Pamiętajcie, Π jest po prostu liczbą. Nie przemnożyłem jej tylko dlatego, że to szalona liczba. Gdybym spróbował ją zapisać, nigdy bym nie skończył. 3,141592... Cyfry ciągną się bez końca, nie powtarzając się. Dlatego pozostawimy ją w tej postaci, można jednak uzyskać przybliżony wynik. 3,14 * 128… to będzie mniej więcej 400 cm³. A teraz zastanówmy się, jak obliczyć POLE POWIERZCHNI tego walca. Górna i dolna podstawa są częściami powierzchni tego walca. Tu mamy jedną część powierzchni… a tu drugą część powierzchni. Naszym zadaniem jest obliczenie pola powierzchni całego walca. Na pewno musimy wliczyć te dwie ściany. Pole każdej z nich wynosi 16Π cm². Tu mamy 16Π cm²… i tu mamy 16Π cm². 2 * 16Π cm² Pozostawię jednostki. Mamy załatwione dwie podstawy. Pozostało obliczyć pole tej bocznej powierzchni. Wyobraźmy sobie, że owijamy tę puszkę papierem. Narysuję tu linię przerywaną. W tym miejscu rozcinamy papier,… …a następnie go zdejmujemy. Zdejmujemy z puszki i rozwijamy. Co uzyskamy? Uzyskamy kartkę papieru, której krawędzią będzie ta linia cięcia. To jest ten sam odcinek, co ten. Przed rozwinięciem… te dwa końce… zaznaczę je innym kolorem… Te dwa końce stykały się. Wybiorę kolor jeszcze nie używany. Może różowy. Te dwie krawędzie stykały się, gdy papier był owinięty wokół walca. Wzdłuż tej linii. Dlatego ta krawędź i ta mają taką samą długość, jak wysokość naszego walca. 8 cm… i tu też 8 cm. Pozostaje pytanie jaką długość ma ta krawędź. Popatrzcie, to odległość potrzebna do okrążenia walca. A więc odległość dokładnie równa obwodowi górnego koła… albo dolnego. Ile wynosi ten obwód? Obwód tego koła czyli obwód górnej podstawy walca, wynosi 2 * promień * Π 2Π… razy promień, równy 4 cm. To się równa 8Π cm. Długość tego boku to obwód jednej z podstaw walca. Wynosi ona 8Π cm. Gdybyśmy mieli obliczyć pole wyłącznie powierzchni bocznej bez górnego i dolnego wieczka to po rozwinięciu miałoby wygląd takiego prostokąta. Pole tej powierzchni jest równe 8 cm * 8Π cm Zróbmy to tak. 8 cm * 8Π cm Czyli 64Π... cm do kwadratu, czyli cm². Zatem pole całego walca to pole górnej ściany... pole dolnej ściany... (już je mamy) i pole powierzchni bocznej. A więc: plus 64Π cm² Pozostaje policzyć. Tu mamy 2 * 16Π… to będzie 32Π cm²… …dodać 64Π… Przesunę kawałek. 64Π cm² 32 + 64 to 96Π cm². Wynik wynosi 96Π cm² czyli trochę ponad 300 cm². Zauważcie: pole powierzchni uzyskaliśmy w centymetrach KWADRATOWYCH. I nic dziwnego, bo mierzyliśmy figury płaskie. Mierzyliśmy, ile kwadracików o wymiarach 1 cm na 1 cm mieści się na powierzchni. Obliczając objętość uzyskaliśmy centymetry SZEŚCIENNE. Dlatego, że mierzyliśmy ile małych kostek o wymiarach 1 cm na 1 cm na 1 cm mieści się w środku naszego walca. Dlatego wyszły centymetry sześcienne. Mam nadzieję, że to zrozumieliście.