Nierówności ze zmiennymi po obu stronach (z nawiasami)

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności: 5x + 7 > 3(x+1) Trzeba doprowadzić do tego, by po lewej stronie był sam x. Najpierw jednak uprośćmy prawą stronę. 5x + 7 jest większe niż… i rozbijamy nawias. 3(x + 1) to jest to samo, co: 3 · x + 3 · 1 a więc 3x dodać 3 · 1 czyli 3. Teraz umieśćmy wszystkie iksy po lewej stronie odejmując 3x od obu stron. Wtedy 3x zniknie z prawej strony. Odejmuję 3x od obu stron nierówności i otrzymuję po lewej: 5x – 3x = 2x, dodać 7 jest większe niż… 3x już nie ma; po to właśnie odjęliśmy 3x od obu stron. Zostało tylko 3, zatem: większe niż 3. Teraz odejmijmy 7 od obu stron, aby pozbyć się tej siódemki z lewej. Odejmuję 7 od obu stron i otrzymuję po lewej: 2x + 7 – 7 to po prostu 2x jest większe niż… 3 – 7, czyli -4. Spójrzcie, mamy 2x > -4. Aby tu został x, wystarczy podzielić obie strony przez 2. 2 jest liczbą dodatnią, więc nie trzeba zmieniać znaku nierówności. Po prostu dzielimy obie strony przez 2 i otrzymujemy: x > -4/2, czyli x > -2. Zbiór rozwiązań wygląda więc następująco. Oś liczbowa… Może wyjdzie mi równiej. Wciąż nie jest idealna, ale może być. -3… -2… -1… 0… 1… 2… 3… x jest większe niż -2. Nie „większe lub równe” -2. Tu nie ma dopuszczonej równości, więc musimy wykluczyć -2. Robimy to otaczając -2 kółkiem. Wszystkie wartości większe niż -2 spełniają tę nierówność. Należą do zbioru rozwiązań. Wszystko powyżej to poprawne rozwiązania. Sprawdźmy to wybierając wartość rzekomo poprawną i rzekomo błędną. 0 powinno spełnić nierówność, bo jest większe niż -2. Jest tutaj. Sprawdźmy: 5 · 0 + 7 ma być większe niż 3(0 + 1). Po lewej mamy 7, bo to się równa 0. 7 ma być większe niż 3, bo tu mamy 3 · 0 + 3 · 1. 7 ma być większe niż 3, i jest. Teraz sprawdźmy wartość spoza zbioru, na przykład -3. 5 · (-3) + 7… Sprawdźmy, czy jest większe niż 3 · (-3 + 1). Po lewej mamy -15 + 7, czyli -8… Piszemy: -8. a po prawej: -3 + 1 = -2, razy 3 równa się -6. -8 nie jest większe niż -6. -8 jest bardziej ujemne niż -6, więc jest mniejsze. I to dobrze, bo wartość -3 nie zawiera się w naszym zbiorze rozwiązań. Wartość ze zbioru okazała się poprawna a wartość spoza zbioru okazała się błędna, więc jest dobrze.