Główna zawartość
Podstawy algebry
Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 3
Lekcja 6: Wieloetapowe nierównościNierówności ze zmiennymi po obu stronach
Rozwiązujemy nierówność -3p-7<p+9, rysując rozwiązanie na osi liczbowej i sprawdzając kilka wartości, żeby potwierdzić rozwiązanie. Stworzone przez: Sal Khan i Monterey Institute for Technology and Education.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Rozwiąż nierówność:
-3p – 7 < p + 9 Musimy więc tak to przekształcić,
aby po jednej stronie było samo p. Najlepiej po lewej, ale niekoniecznie.
Po prostu ma być osobno. Na początek możemy przenieść
p z prawej na lewą. Najłatwiej to zrobić odejmując p
od prawej strony. Jeśli jednak chcemy, aby nierówność
pozostała prawdziwa musimy zrobić to samo
po lewej stronie. Od lewej też musimy odjąć p. Po lewej mamy:
-3p – p, czyli -4p i jeszcze -7 a po prawej: p i -p kasują się,
czyli mamy < 9. Teraz mam ochotę przenieść
-7 na drugą stronę aby po lewej zostało nam
samo p ze współczynnikiem. Najlepiej to zrobić dodając 7.
Wtedy -7 dodać 7 da wynik 0. Dodaję 7 do obu stron nierówności. Po lewej: -7 i 7 kasują się,
i zostaje -4p a po prawej: 9 + 7 = 16. Wciąż „mniejsze niż”. Ostatni krok to pozbycie się
współczynnika przy p. Najłatwiej usunąć ten współczynnik dzieląc obie strony przez -4. Po lewej stronie czynniki się
skrócą i zostanie p. To samo robimy po prawej. Teraz rzecz, o której trzeba
zawsze pamiętać bo to jest nierówność,
a nie równanie. Jeśli mamy nierówność
i mnożymy lub dzielimy obie jej strony przez liczbę ujemną to musimy odwrócić znak. Tu „mniejsze niż” zmienia się
w „większe niż” bo dzielimy przez liczbę ujemną. Zatem -4 i -4 skracają się,
zostaje p jest większe niż 16/-4, czyli -4. Zaznaczmy zbiór rozwiązań
na osi liczbowej. A potem sprawdzimy na przykładach,
czy rozwiązanie jest poprawne. -5… -4… -3… -2… 1… przepraszam: -1… 0… napiszę to ładniej. -1… 0… i tak dalej. Nierówność ma znak „większe niż”,
więc -4 jest poza zbiorem. „Większe niż” – zatem wszystkie
wartości większe. Liczba -3,999999 będzie dobra,
ale -4 już nie. Wypróbujmy kilka wartości, by zyskać
pewność, że dobrze rozwiązaliśmy. Najpierw sprawdźmy p = -3. Powinna być dobra,
bo należy do zbioru rozwiązań. -3 jest większe niż -4. Sprawdźmy: -3 razy -3… Pierwsze -3 wzięło się stąd,
a drugim jest p = -3. …odjąć 7 jest mniejsze niż
-3 zamiast p, dodać 9. -3 razy -3 to 9, odjąć 7,
jest mniejsze niż -3 + 9, czyli 6. 9 – 7 równa się 2,
a 2 oczywiście jest mniejsze niż 6. Teraz sprawdźmy wartość
spoza zbioru rozwiązań. Na przykład -5. -5 nie jest zakolorowane,
więc powinno dać błąd. Mamy: -3 razy -5 odjąć 7. Sprawdźmy, czy to jest mniejsze
niż -5 + 9. -3 razy -5 to 15, odjąć 7 raczej nie powinno być
mniejsze niż -5 + 9. Zobaczmy, czy p = -5 spełnia nierówność. 15 odjąć 7 równa się 8. Otrzymaliśmy 8 < 4,
a to oczywiście nieprawda. p = -5 nie spełnia nierówności,
i dobrze, bo go nie zaznaczyliśmy. Skoro jesteśmy już w miarę pewni,
weźmy wartość graniczną. -4 nie powinno spełnić nierówności,
choć spełniłoby równanie. Chodzi mi o analogiczne równanie:
-3p – 7 = p + 9 Spełni to, ale nie spełni tego bo liczba może być równa samej sobie ale nie może być mniejsza
od samej siebie. Zatem rozwiążmy to i sprawdźmy czy p = -4 spełnia przynajmniej
analogiczne równanie. -3(-4) – 7 ma być równe -4 + 9. 12 – 7 ma być równe -4 + 9, czyli 5. I to jest prawda. 5 = 5. Spełnia więc równanie,
ale nie powinno tego. Jeśli podstawicie tu -4,
do czego zachęcam… Właściwie można tu zamienić znak
równości na znak nierówności. Skasuję to wszystko. To staje się dokładnie
tym samym, co to. Podstawiamy -4 w miejsce p
i na końcu wychodzi 5 < 5. Co nie jest prawdą. I dobrze, bo -4 nie należy
do rozwiązań. Jest otoczone kółkiem,
a nie oznaczone kropką. Byłoby, gdyby tu zamiast „<” było „≤”. Więc to dobrze, że wyszedł błąd. Bo -4 nie należy do naszego
zbioru rozwiązań. Jest tylko wartością graniczną.