Nierówności ze zmiennymi po obu stronach

Rozwiąż nierówność: -3p – 7 < p + 9 Musimy więc tak to przekształcić, aby po jednej stronie było samo p. Najlepiej po lewej, ale niekoniecznie. Po prostu ma być osobno. Na początek możemy przenieść p z prawej na lewą. Najłatwiej to zrobić odejmując p od prawej strony. Jeśli jednak chcemy, aby nierówność pozostała prawdziwa musimy zrobić to samo po lewej stronie. Od lewej też musimy odjąć p. Po lewej mamy: -3p – p, czyli -4p i jeszcze -7 a po prawej: p i -p kasują się, czyli mamy < 9. Teraz mam ochotę przenieść -7 na drugą stronę aby po lewej zostało nam samo p ze współczynnikiem. Najlepiej to zrobić dodając 7. Wtedy -7 dodać 7 da wynik 0. Dodaję 7 do obu stron nierówności. Po lewej: -7 i 7 kasują się, i zostaje -4p a po prawej: 9 + 7 = 16. Wciąż „mniejsze niż”. Ostatni krok to pozbycie się współczynnika przy p. Najłatwiej usunąć ten współczynnik dzieląc obie strony przez -4. Po lewej stronie czynniki się skrócą i zostanie p. To samo robimy po prawej. Teraz rzecz, o której trzeba zawsze pamiętać bo to jest nierówność, a nie równanie. Jeśli mamy nierówność i mnożymy lub dzielimy obie jej strony przez liczbę ujemną to musimy odwrócić znak. Tu „mniejsze niż” zmienia się w „większe niż” bo dzielimy przez liczbę ujemną. Zatem -4 i -4 skracają się, zostaje p jest większe niż 16/-4, czyli -4. Zaznaczmy zbiór rozwiązań na osi liczbowej. A potem sprawdzimy na przykładach, czy rozwiązanie jest poprawne. -5… -4… -3… -2… 1… przepraszam: -1… 0… napiszę to ładniej. -1… 0… i tak dalej. Nierówność ma znak „większe niż”, więc -4 jest poza zbiorem. „Większe niż” – zatem wszystkie wartości większe. Liczba -3,999999 będzie dobra, ale -4 już nie. Wypróbujmy kilka wartości, by zyskać pewność, że dobrze rozwiązaliśmy. Najpierw sprawdźmy p = -3. Powinna być dobra, bo należy do zbioru rozwiązań. -3 jest większe niż -4. Sprawdźmy: -3 razy -3… Pierwsze -3 wzięło się stąd, a drugim jest p = -3. …odjąć 7 jest mniejsze niż -3 zamiast p, dodać 9. -3 razy -3 to 9, odjąć 7, jest mniejsze niż -3 + 9, czyli 6. 9 – 7 równa się 2, a 2 oczywiście jest mniejsze niż 6. Teraz sprawdźmy wartość spoza zbioru rozwiązań. Na przykład -5. -5 nie jest zakolorowane, więc powinno dać błąd. Mamy: -3 razy -5 odjąć 7. Sprawdźmy, czy to jest mniejsze niż -5 + 9. -3 razy -5 to 15, odjąć 7 raczej nie powinno być mniejsze niż -5 + 9. Zobaczmy, czy p = -5 spełnia nierówność. 15 odjąć 7 równa się 8. Otrzymaliśmy 8 < 4, a to oczywiście nieprawda. p = -5 nie spełnia nierówności, i dobrze, bo go nie zaznaczyliśmy. Skoro jesteśmy już w miarę pewni, weźmy wartość graniczną. -4 nie powinno spełnić nierówności, choć spełniłoby równanie. Chodzi mi o analogiczne równanie: -3p – 7 = p + 9 Spełni to, ale nie spełni tego bo liczba może być równa samej sobie ale nie może być mniejsza od samej siebie. Zatem rozwiążmy to i sprawdźmy czy p = -4 spełnia przynajmniej analogiczne równanie. -3(-4) – 7 ma być równe -4 + 9. 12 – 7 ma być równe -4 + 9, czyli 5. I to jest prawda. 5 = 5. Spełnia więc równanie, ale nie powinno tego. Jeśli podstawicie tu -4, do czego zachęcam… Właściwie można tu zamienić znak równości na znak nierówności. Skasuję to wszystko. To staje się dokładnie tym samym, co to. Podstawiamy -4 w miejsce p i na końcu wychodzi 5 < 5. Co nie jest prawdą. I dobrze, bo -4 nie należy do rozwiązań. Jest otoczone kółkiem, a nie oznaczone kropką. Byłoby, gdyby tu zamiast „<” było „≤”. Więc to dobrze, że wyszedł błąd. Bo -4 nie należy do naszego zbioru rozwiązań. Jest tylko wartością graniczną.