Główna zawartość

Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 7

Lekcja 7: Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: Różnica kwadratów

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: Różnica kwadratów

Naucz się jak rozłożyć wyrażenie kwadratowe, które ma postać "różnicy kwadratów". Na przykład, zapisz x²-16 jako (x+4)(x-4).

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.

W tym artykule dowiemy się, jak użyć wzoru na różnicę kwadratów do rozłożenia niektórych wielomianów na czynniki. Jeśli nie znasz tego wzoru, obejrzyj ten film zanim przejdziesz do tej lekcji.

Wprowadzenie: Wzór na różnicę kwadratów

Każdy wielomian, który przedstawia różnicę kwadratów może być przedstawiony za pomocą poniższego wzoru:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Zauważ, że w tym wzorze

a

b

mogą być dowolnym wyrażeniem algebraicznym. Na przykład dla

a = x

oraz

b = 2

, otrzymujemy:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

Wielomian

x^{2} - 4

jest wyrażony za pomocą postaci iloczynowej,

(x + 2) (x - 2)

. Możemy rozwinąć prawą stronę tego równania, aby wyjaśnić rozkład na czynniki:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Teraz, gdy rozumiemy wzór, użyjmy go do rozłożenia na czynniki kilku innych wielomianów.

Przykład 1: Rozkład na czynniki $x^{2} - 16$ ‍

Zarówno

x^{2}

, jak i

16

są liczbami kwadratowymi, ponieważ

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Co oznacza, że:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Ponieważ odejmujemy dwa kwadraty, możemy zauważyć, że wielomian przedstawia różnicę kwadratów. Możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów, aby rozłożyć to wyrażenie na czynniki:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

W naszym przypadku,

a = x

, a

b = 4

. Dlatego rozkład naszego wielomianu na czynniki wygląda tak:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Możemy sprawdzić nasz wynik upewniając się czy iloczyn tych dwóch czynników wynosi

x^{2} - 16

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki $x^{2} - 25$ ‍.

2) Rozłóż na czynniki $x^{2} - 100$ ‍.

Pytanie do zastanowienia

3) Czy możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów aby rozłożyć $x^{2} + 25$ ‍?

Przykład 2: Rozkład na czynniki $4 x^{2} - 9$ ‍

Współczynnik wiodący nie musi być równy

1

, aby można było użyć wzoru na różnicę kwadratów. Tak naprawdę można tu użyć wzoru na różnicę kwadratów!

Jest tak, ponieważ

4 x^{2}

9

są liczbami kwadratowymi, bo

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Możemy to wykorzystać do rozłożenia wielomianu na czynniki za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Szybkie mnożenie pozwoli sprawdzić naszą odpowiedź.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Rozłóż na czynniki $25 x^{2} - 4$ ‍.

5) Rozłóż na czynniki $64 x^{2} - 81$ ‍.

6) Rozłóż na czynniki $36 x^{2} - 1$ ‍.

Ćwiczenia sprawdzające

7*) Rozłóż na czynniki $x^{4} - 9$ ‍.

Zarówno

x^{4}

, jak i

9

są liczbami kwadratowymi, ponieważ

x^{4} = (x^{2})^{2}

9 = (3)^{2}

. Ponieważ zachodzi odejmowanie wyrazów, możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów, aby rozłożyć wielomian na czynniki.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

Zauważ, że możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów do rozłożenia na czynniki wielomianów, które nie są kwadratowe. Jeśli taki wielomian może być wyrażony jako różnica dwóch kwadratów, możemy użyć tego wzoru!

8*) Rozłóż na czynniki $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Podstawy algebry

Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 7

Wprowadzenie: Wzór na różnicę kwadratów

Przykład 1: Rozkład na czynniki x2−16‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Pytanie do zastanowienia

Przykład 2: Rozkład na czynniki 4x2−9‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenia sprawdzające

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Rozkład na czynniki $x^{2} - 16$ ‍

Przykład 2: Rozkład na czynniki $4 x^{2} - 9$ ‍