If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Metoda eliminacji, przegląd (układy równań liniowych)

Metoda eliminacji to technika rozwiązywania układów równań liniowych. W tym artykule przypomnisz sobie tą technikę za pomocą przykładów i spróbujesz wypróbować ją samodzielnie.

Co to jest metoda eliminacji?

Metoda eliminacji jest jednym ze sposobów rozwiązywania układów równań liniowych. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Przykład 1

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Zauważamy, że w pierwszym równaniu występuje wyrażenie 7, x, a w drugim wyrażenie minus, 7, x. Te wyrażenia zredukują się, jeśli obydwa równania dodamy do siebie stronami. To oznacza, że niewiadoma x zostanie wyeliminowana.
2y+7x=5+ 5y7x=127y+0=7\begin{aligned} 2y+\redD{7x} &= -5 \\ +~5y\redD{-7x}&=12\\ \hline\\ 7y+0 &=7 \end{aligned}
Wyznaczamy niewiadomą y z otrzymanego równania:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
Rozwiązaniem układu równań jest x, equals, start color #11accd, minus, 1, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 1, end color #e07d10.
Możemy sprawdzić rozwiązanie, podstawiając wyznaczone wartości do równań podanego układu. Sprawdźmy drugie równanie:
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Tak, wyznaczone rozwiązanie spełnia to równanie.
Jeżeli nie jesteś pewny/a, dlaczego to działa, zobacz ten wprowadzający materiał filmowy zawierający dokładne wprowadzenie.

Przykład 2

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Możemy pomnożyć pierwsze równanie przez minus, 4, żeby uzyskać równoważne równanie, w którym występuje wyrażenie start color #7854ab, minus, 16, x, end color #7854ab. Otrzymujemy w ten sposób nowy (ale równoważny początkowemu!) układ równań, który wygląda następująco:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Dodajemy równania stronami, żeby wyeliminować niewiadomą x:
36y16x+80=0+ 7y+16x80=029y+00=0\begin{aligned} 36y-\redD{16x} +80&=0 \\ {+}~-7y+\redD{16x}-80&=0\\ \hline\\ 29y+0 -0&=0 \end{aligned}
Wyznaczamy niewiadomą y z otrzymanego równania:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
Rozwiązaniem układu równań jest x, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 0, end color #e07d10.
Chcesz zobaczyć inny przykład zastosowania metody eliminacji do rozwiązywania niebanalnego układu równań? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie

zadanie 1
Rozwiąż poniższy układ równań.
3x+8y=152x8y=10\begin{aligned} 3x+8y &= 15\\\\ 2x-8y &= 10 \end{aligned}
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Potrzebujesz nabrać więcej wprawy? Zajrzyj do następujących ćwiczeń: