Główna zawartość

Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 5

Lekcja 2: Metoda eliminacji w rozwiązywaniu układów równań

Metoda eliminacji, przegląd (układy równań liniowych)

Metoda eliminacji to technika rozwiązywania układów równań liniowych. W tym artykule przypomnisz sobie tą technikę za pomocą przykładów i spróbujesz wypróbować ją samodzielnie.

Co to jest metoda eliminacji?

Metoda eliminacji jest jednym ze sposobów rozwiązywania układów równań liniowych. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Przykład 1

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Zauważamy, że w pierwszym równaniu występuje wyrażenie

7 x

, a w drugim wyrażenie

- 7 x

. Te wyrażenia zredukują się, jeśli obydwa równania dodamy do siebie stronami. To oznacza, że niewiadoma

x

zostanie wyeliminowana.

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Wyznaczamy niewiadomą

y

z otrzymanego równania:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

Rozwiązaniem układu równań jest

x = - 1

y = 1

Możemy sprawdzić rozwiązanie, podstawiając wyznaczone wartości do równań podanego układu. Sprawdźmy drugie równanie:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Tak, wyznaczone rozwiązanie spełnia to równanie.

Jeżeli nie jesteś pewny/a, dlaczego to działa, zobacz ten wprowadzający materiał filmowy zawierający dokładne wprowadzenie.

Przykład 2

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Możemy pomnożyć pierwsze równanie przez

- 4

, żeby uzyskać równoważne równanie, w którym występuje wyrażenie

- 16 x

. Otrzymujemy w ten sposób nowy (ale równoważny początkowemu!) układ równań, który wygląda następująco:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Dodajemy równania stronami, żeby wyeliminować niewiadomą

x

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Wyznaczamy niewiadomą

y

z otrzymanego równania:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

Rozwiązaniem układu równań jest

x = 5

y = 0

Chcesz zobaczyć inny przykład zastosowania metody eliminacji do rozwiązywania niebanalnego układu równań? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie

zadanie 1

Rozwiąż poniższy układ równań.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

Potrzebujesz nabrać więcej wprawy? Zajrzyj do następujących ćwiczeń:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.