If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przegląd wiadomości na temat rozwiązywania układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawienia to technika rozwiązywania układu równań liniowych. W tym artykule przypomnisz sobie tą technikę za pomocą przykładów i spróbujesz wypróbować ją samodzielnie. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym jest metoda przez podstawienie?

Metoda przez podstawienie jest sposobem rozwiązywania układów równań liniowych. Przeanalizujmy kilka przykładów.

Przykład 1

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
3x+y=3x=y+3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ x&=-y+3 \end{aligned}
Drugie równanie jest rozwiązane ze względu na x, możemy więc podstawić wyrażenie minus, y, plus, 3 za x w pierwszym z równań:
3x+y=33(y+3)+y=33y+9+y=32y=12y=6 \begin{aligned} 3\blueD{x}+y &= -3\\\\ 3(\blueD{-y+3})+y&=-3\\\\ -3y+9+y&=-3\\\\ -2y&=-12\\\\ y&=6 \end{aligned}
Wstawienie tej wartości do jednego z pierwotnych równań, dajmy na to x, equals, minus, y, plus, 3, doprowadza nas do rozwiązania na drugą zmienną:
x=y+3x=(6)+3x=3\begin{aligned} x &= -\blueD{y} +3\\\\ x&=-(\blueD{6})+3\\\\ x&=-3 \end{aligned}
Rozwiązaniem tego układu równań jest x, equals, minus, 3, y, equals, 6.
Możemy sprawdzić poprawność rozwiązania poprzez wstawienie tych liczb z powrotem do pierwotnych równań. Spróbujmy z 3, x, plus, y, equals, minus, 3.
3x+y=33(3)+6=?39+6=?33=3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ 3(-3)+6&\stackrel ?=-3\\\\ -9+6&\stackrel ?=-3\\\\ -3&=-3 \end{aligned}
Tak, nasze rozwiązanie jest poprawne.

Przykład 2

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
7x+10y=362x+y=9\begin{aligned} 7x+10y &= 36\\\\ -2x+y&=9 \end{aligned}
W celu użycia metody przez podstawienie, będziemy potrzebowali rozwiązać któreś z równań ze względu na x lub ze względu na y. Rozwiążmy drugie z równań ze względu na y:
2x+y=9y=2x+9\begin{aligned} -2x+y&=9 \\\\ y&=2x+9 \end{aligned}
Możemy teraz podstawić wyrażenie 2, x, plus, 9 za y w pierwszym z równań:
7x+10y=367x+10(2x+9)=367x+20x+90=3627x+90=363x+10=43x=6x=2 \begin{aligned} 7x+10\blueD{y} &= 36\\\\ 7x+10\blueD{(2x+9)}&=36\\\\ 7x+20x+90&=36\\\\ 27x+90&=36\\\\ 3x+10&=4\\\\ 3x&=-6\\\\ x&=-2 \end{aligned}
Wstawienie tych wartości z powrotem do naszych pierwotnych równań, na przykład do y, equals, 2, x, plus, 9, pozwoli nam rozwiązać równania ze względu an drugą zmienną:
y=2x+9y=2(2)+9y=4+9y=5\begin{aligned} y&=2\blueD{x}+9\\\\ y&=2\blueD{(-2)}+9\\\\ y&=-4+9 \\\\ y&=5 \end{aligned}
Rozwiązaniem układu równań jest x, equals, minus, 2, y, equals, 5.
Chcesz się nauczyć więcej o metodzie przez podstawienie? Zajrzyj do tego materiału filmowego.

Poćwicz

zadanie 1
Rozwiąż poniższy układ równań.
5x+4y=3x=2y15\begin{aligned} -5x+4y &= 3\\\\ x&=2y-15 \end{aligned}
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Potrzebujesz więcej ćwiczeń? Wykonaj to ćwiczenie.