If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przegląd wiadomości na temat rozwiązywania układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawienia to technika rozwiązywania układu równań liniowych. W tym artykule przypomnisz sobie tą technikę za pomocą przykładów i spróbujesz wypróbować ją samodzielnie. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym jest metoda przez podstawienie?

Metoda przez podstawienie jest sposobem rozwiązywania układów równań liniowych. Przeanalizujmy kilka przykładów.

Przykład 1

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
3x+y=3x=y+3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ x&=-y+3 \end{aligned}
Drugie równanie jest rozwiązane ze względu na x, możemy więc podstawić wyrażenie minus, y, plus, 3 za x w pierwszym z równań:
3x+y=33(y+3)+y=33y+9+y=32y=12y=6 \begin{aligned} 3\blueD{x}+y &= -3\\\\ 3(\blueD{-y+3})+y&=-3\\\\ -3y+9+y&=-3\\\\ -2y&=-12\\\\ y&=6 \end{aligned}
Wstawienie tej wartości do jednego z pierwotnych równań, dajmy na to x, equals, minus, y, plus, 3, doprowadza nas do rozwiązania na drugą zmienną:
x=y+3x=(6)+3x=3\begin{aligned} x &= -\blueD{y} +3\\\\ x&=-(\blueD{6})+3\\\\ x&=-3 \end{aligned}
Rozwiązaniem tego układu równań jest x, equals, minus, 3, y, equals, 6.
Możemy sprawdzić poprawność rozwiązania poprzez wstawienie tych liczb z powrotem do pierwotnych równań. Spróbujmy z 3, x, plus, y, equals, minus, 3.
3x+y=33(3)+6=?39+6=?33=3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ 3(-3)+6&\stackrel ?=-3\\\\ -9+6&\stackrel ?=-3\\\\ -3&=-3 \end{aligned}
Tak, nasze rozwiązanie jest poprawne.

Przykład 2

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
7x+10y=362x+y=9\begin{aligned} 7x+10y &= 36\\\\ -2x+y&=9 \end{aligned}
W celu użycia metody przez podstawienie będziemy potrzebowali rozwiązać jedno z równań ze względu na x lub ze względu na y. Rozwiążmy drugie z równań ze względu na y:
2x+y=9y=2x+9\begin{aligned} -2x+y&=9 \\\\ y&=2x+9 \end{aligned}
Możemy teraz podstawić wyrażenie 2, x, plus, 9 za y w pierwszym z równań:
7x+10y=367x+10(2x+9)=367x+20x+90=3627x+90=363x+10=43x=6x=2 \begin{aligned} 7x+10\blueD{y} &= 36\\\\ 7x+10\blueD{(2x+9)}&=36\\\\ 7x+20x+90&=36\\\\ 27x+90&=36\\\\ 3x+10&=4\\\\ 3x&=-6\\\\ x&=-2 \end{aligned}
Wstawienie tych wartości z powrotem do naszych pierwotnych równań, na przykład do y, equals, 2, x, plus, 9, pozwoli nam rozwiązać równania ze względu an drugą zmienną:
y=2x+9y=2(2)+9y=4+9y=5\begin{aligned} y&=2\blueD{x}+9\\\\ y&=2\blueD{(-2)}+9\\\\ y&=-4+9 \\\\ y&=5 \end{aligned}
Rozwiązaniem układu równań jest x, equals, minus, 2, y, equals, 5.
Chcesz się nauczyć więcej o metodzie przez podstawienie? Zajrzyj do tego materiału filmowego.

Poćwicz

zadanie 1
  • Prąd elektryczny
Rozwiąż poniższy układ równań.
5x+4y=3x=2y15\begin{aligned} -5x+4y &= 3\\\\ x&=2y-15 \end{aligned}
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Potrzebujesz więcej ćwiczeń? Wykonaj to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.