Główna zawartość
Podstawy algebry
Kurs: Podstawy algebry > Rozdział 1
Lekcja 1: Liczby ujemne- Wprowadzenie do liczb ujemnych
- Liczby ujemne na osi liczbowej
- Liczby przeciwne
- Liczby przeciwne
- Dodawanie liczb z różnymi znakami
- Dodawanie liczb ujemnych
- Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych
- Odejmowanie liczby ujemnej = dodawanie dodatniej
- Odejmowanie liczb ujemnych
- Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych
- Dlaczego liczba ujemna pomnożona przez inną liczbę ujemną daje liczbę dodatnią
- Czemu to ma sens, że liczba ujemna razy ujemna daje dodatnią
- Dzielenie liczb dodatnich i ujemnych
- Mnożenie liczb ujemnych
- Dzielenie liczb ujemnych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Dlaczego liczba ujemna pomnożona przez inną liczbę ujemną daje liczbę dodatnią
Użycie rozdzielności do zrozumienia iloczynów liczb ujemnych. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Wyobraźcie sobie, że jesteście
starożytnym filozofem który tworzy podstawy matematyki. Wiecie już, co oznacza lub co powinna
oznaczać liczba ujemna i umiecie je dodawać i odejmować. Macie jednak pewną zagwozdkę. Jak mnożyć liczby ujemne? Co robić, gdy mnożycie
liczbę ujemną przez dodatnią albo mnożycie przez siebie
dwie liczby ujemne. Na przykład co zrobić z takim mnożeniem: Wybiorę jedną liczbę
dodatnią i jedną ujemną. Co zrobić z mnożeniem 5 × -3? Nie umiecie jeszcze tego robić. Nie wiecie też, jaki wynik daje
mnożenie dwu liczb ujemnych. Na przykład -2 × -6. Też tego nie umiecie. Będąc matematykiem wiecie jednak że niezależnie od tego,
co z tym zrobicie rozwiązanie musi być spójne z całą dotychczasową
wiedzą matematyczną. Zwłaszcza z innymi zasadami mnożenia. Wtedy uwierzycie,
że rozwiązanie jest dobre. Postarajmy się zatem dojść do wyniku
i udowodnić, że jest prawidłowy. Aby rozwiązanie było spójne
z wiedzą matematyczną zrobimy eksperyment myślowy. Jaki wynik dałoby
5 razy… 3 dodać -3? Wymyśliliśmy już, jak należy
dodawać liczby ujemne i dodatnie i wiemy, że -3 jest przeciwieństwem 3. Wiemy, że -3 + 3 = 0. To będzie więc równe… 5 razy 0. Wywnioskowaliśmy to z tego,
co już wiemy o dodawaniu liczb ujemnych. Każda liczba pomnożona przez 0
daje wynik 0 dlatego to wyrażenie jest równe 0. Teraz myślimy sobie: mnożenie liczb ujemnych musi być przecież
zgodne z zasadą rozdzielności. Rozdzielmy tę piątkę. Rozdzielmy ją. Jeśli matematyka jest spójna,
a musi taka być to nie powinno to wpłynąć na wynik. Rozdzielmy tę piątkę.
Otrzymamy 5 × 3… 5 × 3… Napiszmy to. 5 × 3… Użyję krzyżyka jako znaku
mnożenia, zamiast kropki. 5 × 3… To pierwszy element… plus… plus 5 × -3.
Kolorem żółtym. 5 × -3 Całe to wyrażenie musi być równe 0. Musi być równe 0. 5 × 3 to dwie liczby dodatnie,
umiemy je mnożyć. To się równa 15. Teraz mamy więc 15… plus… nieznany wynik działania 5 × -3… i to się musi równać 0,
aby nie naruszało zasad matematyki. Ile trzeba dodać do 15, aby otrzymać 0? Przeciwieństwo 15. Aby to wszystko było spójne z całą
naszą wiedzą matematyczną to wyrażenie musi być równe -15. Doszliśmy do wniosku, że jeśli ściśle
trzymamy się wiedzy matematycznej to 5 × -3 musi być równe -15. To samo podpowiada nam intuicja bo 5 × -3 to odejmowanie
liczby 3 pięć razy. Nieco trudniejszym zagadnieniem
jest mnożenie dwu liczb ujemnych. Przeprowadźmy ten sam eksperyment. Wynik tego działania musi być spójny
z całą wiedzą matematyczną. Przeprowadźmy ten sam
eksperyment myślowy. Ile będzie równe
-2 razy… 6 dodać -6? 6 + -6 równa się 0 a -2 × 0, jak wszystko razy 0,
musi być równe 0. Rozdzielmy to, jak poprzednio. Mamy więc -2 razy 6… plus… -2 razy -6. I to wszystko musi być równe 0. Tak jak w poprzednim eksperymencie mówimy: to musi być równe -12. Można to rozumieć jako dwukrotne
przesunięcie się na osi liczbowej o 6 w lewo albo jako sześciokrotne odjęcie
liczby 2, co łącznie daje wynik -12. Tutaj, gdy mnożyliśmy
liczbę dodatnią przez ujemną też otrzymaliśmy liczbę ujemną. Wiemy już, że to wyrażenie
jest równe -12 zatem -12 dodać… nieznana wartość tego mnożenia… musi równać się 0. Musi się równać 0, aby pozostać
w zgodzie z wiedzą matematyczną. Co zatem trzeba dodać do -12,
aby otrzymać 0? Oczywiście trzeba dodać plus 12,
aby wyszło 0. To wyrażenie musi być równe 12 aby pozostać w zgodzie
z wiedzą matematyczną. Stąd wiemy, że -2 razy -6
musi się równać plus 12. Na tym skończymy, ale postaram się
zrobić kolejne prezentacje aby przekonać was, że tak musi być.