Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną: ułamki zwykłe

Mamy nierówność: |2r – 3¼| < 2½ i mamy obliczyć r. Kluczem jest ta wartość bezwzględna. Dla przypomnienia: Załóżmy, że mamy nierówność: wartość bezwzględna x jest mniejsza niż… niech będzie 2½. To znaczy, że odległość x od zera jest mniejsza niż 2½. To z kolei znaczy, że x jest mniejsze niż 2½… i… jednocześnie jest większe niż -2½. Zastanówmy się nad tym. Narysuję oś liczbową. Tu na osi jest 0… tu 2½… a tu -2½. Te dwie liczby leżą dokładnie 2½ od zera. Dla obu wartość bezwzględna to 2½. Warunek wymaga jednak, by ta wartość była mniejsza niż 2½. Czyli chodzi o liczby leżące bliżej niż 2½. To wszystkie liczby między tymi punktami. Dokładnie to mówią te dwa warunki: x musi być mniejsze niż 2½… i większe niż -2½. Gdyby tu był przeciwny znak to chodziłoby o liczby na zewnątrz przedziału i zamiast „i” byłoby „lub”. Mamy tu jednak znak mniejszości. Spróbujmy zastosować to samo rozumowanie tutaj. Odległość tej wartości… Odległość tego wyrażenia od zera musi być mniejsza niż 2½. Możemy więc napisać, że: 2r – 3¼ musi być… mniejsze od 2½… i… 2r – 3¼ musi być większe niż -2½. Rozdzielę te obliczenia, żeby się nie myliły. To samo rozumowanie. Ta wartość między kreskami musi leżeć w przedziale od -2½… czyli musi być większa niż -2½ i mniejsza niż 2½. Właśnie to napisałem. Rozwiążmy te dwie nierówności. Najpierw ta. Jak już wiecie, nie lubię ułamków niewłaściwych a w zasadzie ułamków w ogóle więc zmieńmy je… O, przepraszam, nie lubię liczb mieszanych …zmieńmy je w ułamki niewłaściwe. Otrzymamy: 2r minus… 3¼ to inaczej 3 razy 4 to 12 plus 1 to 13. …czyli minus 13/4… …jest mniejsze niż… 2 razy 2 to 4 plus 1 to 5, czyli 5/2. To pierwsza nierówność. Z drugą robimy to samo. 2r – 13/4 jest większe niż -5/2. Pozostaje rozwiązać te nierówności. Aby pozbyć się ułamków, najlepiej pomnożyć obie strony przez 4. Znikną wtedy oba ułamki. Przesunę wszystko trochę w prawo. Pomnóżmy obie strony nierówności przez 4. 4 razy 2r to 8r… 4 razy -13/4 to -13… Mnożę przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia. 5/2 razy 4 równa się 10. Z 4 zostaje 2, dlatego 10. Uzyskaliśmy: 8r – 13 < 10 Dodajmy teraz 13 do obu stron aby pozbyć się go z lewej. Dodajemy 13 i otrzymujemy: 8r… te liczby się kasują… jest mniejsze niż 23. Podzielmy obie strony przez 8. Dzielimy obie strony przez 8… Znów nie musimy zmieniać znaku, bo dzielimy przez liczbę dodatnią. Uzyskujemy: r jest mniejsze od 23/8. Zapiszmy to jako liczbę mieszaną. r jest mniejsze od… ile to będzie… 2 i 7/8. Jedna nierówność policzona, została nam druga. Zajmijmy się nią. Mówi ona: 2r minus 13/4 jest większe niż minus 5/2. Pomnóżmy obie strony przez 4. 4 × 2r = 8r 4 × -13/4 = -13 jest większe niż 4 × -5/2 czyli -10. Dodajmy teraz 13 do obu stron. Po lewej stronie czynniki się kasują i zostaje 8r. Większe niż, i -10 + 13 = 3. Dzielimy obie strony przez 8… i zostaje r > 3/8. Mamy już oba warunki: r < 2 i 7/8 oraz r > 3/8. A więc r > 3/8… Właściwie powinienem powiedzieć: 3/8 jest mniejsze od r które jest mniejsze od 2 i 7/8. Zaznaczmy zbiór rozwiązań na osi liczbowej. Mamy oś liczbową… Tu jest 0… a tu 1, 2 i 3. Mamy warunek: mniejsze niż 2 i 7/8. 2 i 7/8 jest tutaj. Mamy też warunek: większe niż 3/8. 3/8 znajduje się gdzieś tutaj. Wszystko pomiędzy to zbiór rozwiązań. Sprawdźmy to: wybierzmy jakąś liczbę ze zbioru rozwiązań. 1 powinno być dobrym rozwiązaniem. Sprawdźmy. 2 × 1… – 3¼ To się równa: 2 – 3¼ Ile to jest? Policzmy. 3¼ – 2 = 1¼, więc nasz wynik to -1¼. Wyciągamy z tego wartość bezwzględną. Jest równa 1¼. A jest to liczba mniejsza niż 2½. Teraz spróbujmy z liczbą 0, która nie mieści się w zbiorze rozwiązań. Co wyjdzie? 2 × 0 = 0 0 – 3¼ = -3¼ Wartość bezwzględna -3¼ równa się 3¼. Zgodnie z oczekiwaniem, 3¼ jest większe niż 2½, czyli nie mieści się. Tak samo 3. 2 × 3 = 6 6 – 3¼ = 2¾ Wartość bezwzględna jest taka sama, a 2¾ jest większe niż 2½. Widać, że przykładowe liczby potwierdzają poprawność naszego rozwiązania.