Wprowadzenie do nierówności z wartością bezwzględną

Rozwiążemy kilka nierówności zawierających wartość bezwzględną. Gdybym miał powiedzieć, co w algebrze sprawia największe kłopoty powiedziałbym, że właśnie to ale jeśli będziecie pamiętać, czym jest wartość bezwzględna na pewno okaże się nie taka straszna. Weźmy więc coś łatwego na rozgrzewkę. Wartość bezwzględna x… jest mniejsza od 12. Przypomnijcie sobie, co to jest wartość bezwzględna. Mówi ona, jak daleko od zera leży dana liczba. Czyli, w tym przypadku, jakie wartości x znajdują się mniej niż 12 pozycji od zera. Narysujmy oś liczbową. Tu mamy 0… i interesują nas liczby leżące w zasięgu 12 pozycji. Czyli wszystkie liczby do plus 12… i wszystkie liczby do minus 12. Wszystkie liczby między tymi liczbami… będą miały wartość bezwzględną mniejszą niż 12. Będą mniej niż 12 pozycji od 0. Więc to oznacza… wszystkie liczby większe od -12… Wszystkie te liczby na pewno będą miały wartość bezwzględną mniejszą niż 12 pod warunkiem, że jednocześnie będą mniejsze od 12. Jeśli liczba spełni oba te warunki to jej wartość bezwzględna na pewno będzie niższa niż 12. Na przykład liczba -6, leżąca 6 pozycji od 0. Tak samo -11, 11 pozycji od 0. Liczby spełniające te warunki spełniają także nierówność. To rozwiązanie tej nierówności. Była prosta, ale to dobry wstęp do kolejnych zadań. Można zapisać rozwiązanie inaczej, w formie przedziału. Wszystko w przedziale od -12 do 12, bez tych liczb. Albo tak: x mniejsze od 12 i większe od -12. To jest zbiór rozwiązań. Spróbujmy zrobić trudniejszy przykład. Trzeba się będzie bardziej wysilić. Niech będzie: wartość bezwzględna 7x jest większa lub równa 21. Zastanówmy się nad tym, co jest między kreskami. Wartość bezwzględna czegoś jest większa lub równa 21. Co to oznacza? Że liczba między kreskami… Że wartość wyrażenia między kreskami musi być odległa od zera o co najmniej 21 pozycji. Narysujmy oś liczbową. Wyobrażajcie sobie oś, a nigdy się nie pomylicie. Nie będziecie musieli pamiętać zasad. Niech tu będzie 0 tu 21, a tu -21. Chcemy, aby wszystkie wartości tego wyrażenia były większe lub równe 21… (wartość bezwzględna!) były oddalone od zera o co najmniej 21 pozycji. Aby wartość bezwzględna nie była niższa niż 21. Wszystkie liczby ujemne mniejsze niż -21… jeśli weźmie się ich wartość bezwzględną, czyli usunie znak minus… albo weźmie odległość od zera to będą one większe niż 21. Wartość bezwzględna -30 jest większa niż 21. Tak samo tutaj. Wszystkie liczby większe niż 21… także będą miały wartość bezwzględną większą niż 21. Wiemy już, że wartość 7x musi zawierać się w tym zbiorze albo musi zawierać się w tym zbiorze. Napiszmy więc… 7x musi zawierać się w tym zbiorze, ale co to za zbiór? To zbiór liczb mniejszych lub równych -21. Albo… Zmienię kolor. Albo 7x musi zawierać się w tym zbiorze. A to znaczy, że 7x musi być większe lub równe +21. Chcę, żebyście dobrze zrozumieli, co się tu dzieje. Jeśli wartość bezwzględna jest większa lub równa 21 to znaczy, że wyrażenie między kreskami musi być albo większe lub równe +21 albo mniejsze lub równe -21. Bo jeśli będzie mniejsze niż -21 to jego wartość bezwzględna będzie większa niż 21. Chyba już rozumiecie, ale utrwalimy to kolejnymi przykładami. W tym momencie mamy zwykły układ dwu nierówności. Gdy podzielimy obie strony przez 7, otrzymamy x jest mniejsze lub równe -3. A dzieląc obie strony tego przez 7, otrzymamy x jest większe lub równe 3. Dla jasności: to, co zaznaczyłem, to nie był zbiór rozwiązań. To zbiór wartości 7x, a nie x. Chciałem tylko pokazać, jakie wartości bezwzględne… jakie liczby znajdują się co najmniej 21 pozycji od zera. To jest zbiór rozwiązań: x większe lub równe 3 lub mniejsze lub równe -3. Zbiór rozwiązań dla tej nierówności… Narysujmy kolejną oś… Tu jest 0, tu jest 3, a tu -3. x ma być większe lub równe 3. większe lub równe 3… To znak równości. Albo mniejsze lub równe -3. Albo… mniejsze… lub równe… -3. Zróbmy jeszcze ze dwa. Dla niektórych mogą być trudne ale wystarczy pamiętać, co oznacza wartość bezwzględna i zaczyna się rozumieć je intuicyjnie. Niech będzie wartość bezwzględna… Coś ciekawego. Wartość bezwzględna 5x + 3 jest mniejsza niż 7. Te kreski mówią nam, że wyrażenie między nimi musi mieć wartość odległą o mniej niż 7 pozycji od 0. Popatrzmy więc, jakie liczby są mniej niż 7 pozycji od 0. Liczby leżące mniej niż 7 pozycji od 0 to liczby mniejsze niż 7 i większe niż -7. Muszą leżeć w tym przedziale. Aby spełnić nierówność, wartość między kreskami musi… Wyrażenie między kreskami, czyli 5x + 3 musi być większe niż -7 i musi być… mniejsze niż 7 aby jego wartość bezwzględna była mniejsza niż 7. Jeśli wartość tego wyrażenia uplasuje się w tym przedziale to jego wartość bezwzględna, odległość od 0, będzie mniejsza niż 7. Pozostaje to rozwiązać. Odejmujemy 3 od obu stron otrzymując 5x jest większe od -10. Dzielimy przez 5 i… x jest większe od -2. Teraz tu odejmujemy 3 od obu stron… 5x jest mniejsze od 4… Dzielimy przez 5 i… x jest mniejsze od 4/5. Można zaznaczyć zbiór rozwiązań. Liczby większe od -2… (nie większe lub równe)… i mniejsze od 4/5. Tak zapisuje się przedziały. To wszystkie liczby między -2 a 4/5. Albo: wartości x większe od -2 i mniejsze od 4/5. To zbiór rozwiązań tej nierówności. Dobrze zapamiętajcie ten sposób wizualizacji. Myślę, że dostrzegacie już pewną regułę. Właściwie nie trzeba jej zapamiętywać, ale ją podam. Jeśli macie jakąś funkcję zmiennej x… i jej wartość bezwzględna ma być, powiedzmy, mniejsza niż jakaś liczba a… To sytuacja analogiczna do tej. …to znaczy to, że wartość tej funkcji musi leżeć na osi w odległości od zera mniejszej niż a. A to znaczy, że wartość funkcji musi być mniejsza niż plus a lub większa niż minus a. To oznacza to… a to z kolei oznacza… wartość funkcji większą od minus a i… mniejszą niż a. Logika jest ta sama. To zbiór wartości leżących mniej niż a pozycji od zera. Spróbujmy w drugą stronę. Jeśli mamy wartość bezwzględną większą niż a. To znaczy, że wartość funkcji musi leżeć dalej niż a pozycji od 0. Czyli wartość funkcji jest większa niż plus a albo… wartość funkcji jest mniejsza niż minus a. Mniejsza niż minus a, czyli na przykład równa -a – 1… albo na przykład -5 + -a… Wtedy wartość bezwzględna równa się 5 + a więc na pewno będzie większa niż a. Możecie nauczyć się tego na pamięć ale lepiej pomyślcie: To nam mówi: bliżej niż a od 0 a to: dalej niż a od 0. Zróbmy jeszcze jeden bo ludzie mają z tym kłopoty. Radzę obejrzeć tę prezentację wielokrotnie. Niech będzie wartość bezwzględna… Wartość bezwzględna 2x… Weźmy może jakiś inny przykład. Trudniejszy. Wartość bezwzględna 2x/7… dodać 9… jest większa niż 5/7. Wartość wyrażenia między kreskami musi znajdować się na osi liczbowej dalej od zera niż 5/7. Zatem to wszystko… 2x/7 + 9 musi być albo większe niż 5/7 albo mniejsze niż minus 5/7 bo w takim przypadku wartość bezwzględna będzie większa niż 5/7. Albo… 2x/7 + 9 jest mniejsze niż -5/7. To ten przypadek. Pozostaje rozwiązać obie nierówności. Najpierw pomnóżmy obie strony przez 7, żeby zniknęły mianowniki. Gdy to zrobimy, otrzymamy: 2x + … 9 razy 7 to 63… jest większe od 5. A tutaj otrzymamy: 2x + 63 < -5 Teraz odejmijmy od obu stron 63. Otrzymamy 2x… 5 odjąć 63 to 58 (błąd!), więc jest większe od 58. Jeśli zrobimy to w tej nierówności, otrzymamy 2x… jest mniejsze od… Jeśli odejmiemy 63 od obu stron, otrzymamy… -68. Właśnie zauważyłem błąd. 5 odjąć 63 to oczywiście minus 58. Wszystko przez nieuwagę. Teraz podzielmy przez 2. Zostanie x, a znak nie zmieni się, bo dzielimy przez liczbę dodatnią. -58 przez 2 to -29. Jeśli zrobimy to samo tutaj… otrzymamy x jest mniejsze od… x jest mniejsze od -34. 68 dzielone przez 2 to 34. Na osi liczbowej, zbiór rozwiązań tej nierówności wygląda tak Oto oś liczbowa… tu jest -29… tu jest -34… a zbiór rozwiązań to: albo większe niż -29 nie „większe lub równe”… To jest ta nierówność. …albo mniejsze niż -34. Każda z tych liczb jest rozwiązaniem naszej nierówności z wartością bezwzględną.