Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 16

Lekcja 10: Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej

Przypomnienie wiadomości o zapisie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej

Przypomnij sobie postać trygonometryczną liczby zespolonej i wykorzystaj ją do mnożenia, dzielenia oraz podnoszenia do potęgi liczb zespolonych.

Co to jest postać trygonometryczna liczby zespolonej?

r (\cos θ + i \sin θ)

Postać trygonometryczna podkreśla własności geometryczne liczby zespolonej:

wartość bezwzględną liczby zespolonej

(czyli odległość od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej) oraz

kąt

(kąt jaki tworzy wektor, utożsamiony z tą liczbą, z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej). Wartość bezwzględna i kąt nazywane są także odpowiednio

modułem

argumentem

liczby zespolonej.

Zauważ, że jeśli rozwiniemy wyrażenie w nawiasie, otrzymamy znowu postać kanoniczną liczby zespolonej.

Chcesz dowiedzieć się więcej o postaci trygonometrycznej liczby zespolonej? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o różnych sposobach zapisu liczb zespolonych? Przeczytaj ten artykuł.
Chcesz dowiedzieć się więcej o konwersji z postaci kanonicznej do postaci trygonometrycznej? Przeczytaj ten artykuł.

Ćwiczenia - zestaw 1: mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna, gdy mamy wykonać mnożenie lub dzielenie liczb zespolonych:

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ z_{2} & = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) \\ ⇓ \\ z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})] \end{aligned}

Chcesz wiedzieć więcej o mnożeniu i dzieleniu liczb zespolonych? Obejrzyj ten film.

Zadanie 1.1

w_{1} = 5 [\cos (15^{\circ}) + i \sin (15^{\circ})]

w_{2} = 3 [\cos (45^{\circ}) + i \sin (45^{\circ})]

w_{1} \cdot w_{2} =

Podaj odpowiedź w postaci trygonometrycznej. Kąt wyraź w stopniach.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenia - zestaw 2: potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ ⇓ \\ (z_{1})^{n} & = (r_{1})^{n} [\cos (n \cdot θ_{1}) + i \sin (n \cdot θ_{1})] \end{aligned}

Przykład 1

Obliczmy

(1 + \sqrt{3} i)^{6}

. Zacznijmy od zapisania naszej liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

(1 + \sqrt{3} i) = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})

[Pokaż mi wszystkie obliczenia.]

Możemy teraz skorzystać z powyższego wzoru:

\begin{aligned} [2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})]^{6} \\ = (2)^{6} [\cos (6 \cdot 60^{\circ}) + i \sin (6 \cdot 60^{\circ})] \\ = 64 (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ}) \\ = 64 (1 + i \cdot 0) \\ = 64 \end{aligned}

Przykład 2

Znajdź rozwiązania równania

z^{3} = 27

. Zacznij od zdefiniowania

r

θ

, czyli modułu i argumentu

z

. Zgodnie z tą definicją,

z^{3}

równa się

r^{3} [\cos (3 \cdot θ) + i \sin (3 \cdot θ)]

Liczbę

27

można zapisać jako

27 [\cos (k \cdot 360^{\circ}) + i \sin (k \cdot 360^{\circ})]

Wyjściowe równanie

z^{3} = 27

jest równoważne układowi dwóch równań:

r^{3} = 27

3 \cdot θ = k \cdot 360^{\circ}

Rozwiązaniem pierwszego równania jest

r = 3

. Rozwiązaniami drugiego równania są kąty, spełniające równanie

θ = k \cdot 120^{\circ}

, które ma trzy różne rozwiązania:

0^{\circ}

120^{\circ}

, and

240^{\circ}

. Każde z nich odpowiada innemu rozwiązaniu naszego wyjściowego równania:

\begin{aligned} z_{1} & = 3 \\ z_{2} & = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

Zadanie 2.1

(\sqrt{2} + \sqrt{2} i)^{6} =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.