Graficzne wyobrażenie podnoszenia liczby zespolonej do potęgi

Nasze rozważania nad liczbami zespolonymi zaczęły się od wymyślenia liczby $i$‍, dla której $i^2=-1$‍, a następnie przedstawiliśmy ją umieszczając poza osią liczbową, jedną jednostkę powyżej $0$‍. Dzięki wizualizacjom z poprzedniego artykułu możemy zobaczyć dlaczego ten punkt w na płaszczyźnie jest naturalnym miejscem dla liczby, której kwadrat wynosi $-1$‍.

Zobacz, mnożenie przez $i$‍ powoduje obrót o ${90}^{\circ }$‍ wokół początku układu współrzędnych:

Można to zrozumieć na dwa sposoby: albo ze względu na to, że wartość bezwzględna $i$‍ wynosi $1$‍, a argument ${90}^{\circ }$‍, albo ponieważ taki obrót jest jedynym sposobem przekręcenia układu współrzędnych (przy ustalonym położeniu punktu $0$‍) tak, aby $1$‍ znalazło się w miejscu, gdzie wcześniej było $i$‍.

W takim razie co wydarzy się jeśli pomnożymy wszystkie punkty na płaszczyźnie dwukrotnie przez $i$‍?

Jest to tożsame z obrotem o ${180}^{\circ }$‍ wokół początku układu współrzędnych, czyli mnożeniem przez $-1$‍. Takie rozumowanie jest prawidłowe, ponieważ dwukrotne mnożenie przez $i$‍ to to samo co mnożenie przez $i^2$‍, które powinno wynosić $-1$‍.

Widać wyraźnie, że nie można umieścić liczby $i$‍ w innym miejscu na płaszczyźnie zespolonej, jednocześnie respektując jej podstawową własność, to znaczy $i^2=-1$‍.

Pobawmy się teraz w wielokrotne mnożenie liczb zespolonych przez siebie.

Weźmy liczbę zespoloną $z=1+i\sqrt{3}$‍, której moduł wynosi $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍, a argument równa się ${60}^{\circ }$‍. Co się stanie, jeśli pomnożymy liczby na płaszczyźnie zespolonej przez $z$‍ trzy razy pod rząd?

Wszystko jest rozciągnięte trzykrotnie o czynnik $2$‍, a zatem końcowy czynnik skali wynosi $2^3=8$‍. Podobnie, wszystkie liczby obrócone są trzykrotnie o ${60}^{\circ }$‍, a więc całkowity obrót ma ${180}^{\circ }$‍. To znaczy, że koniec końców przekształcenie płaszczyzny zespolonej jest równoważne pomnożeniu przez $-8$‍, czyli $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍.

Możemy również zobaczyć to za pomocą algebry w następujący sposób:

Załóżmy, że mnożymy wszystko na płaszczyźnie przez $(1+i)$‍ kolejno osiem razy:

Ponieważ moduł $1+i$‍ równa się

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

wszystko jest rozciągnięte osiem razy ze współczynnikiem skali równym $\sqrt{2}$‍, a więc ostatecznie współczynnik skali wynosi $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍.

Ponieważ argument $(1+i)$‍ równa się ${45}^{\circ }$‍, wszystko zostało obrócone o kąt $8\cdot {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍, czyli tak, jakby nie było w ogóle żadnego obrotu. A zatem, $(1+i{)}^8=16$‍.

Możemy to też zobaczyć za pomocą algebry

A teraz zadajmy pytanie odwrotne: czy istnieje taka liczba $z$‍, że jeśli pomnożymy płaszczyznę zespoloną przez $z$‍ pięć razy pod rząd, to nic się nie zmieni? Innymi słowy, czy umiemy rozwiązać równanie $z^5=1$‍? Jedną z odpowiedzi jest na pewno $z=1$‍, ale czy są jeszcze inne rozwiązania?

Po pierwsze, moduł takiej liczby $z$‍ musi być równy $1$‍, bo jeśli byłby większy od $1$‍, to płaszczyzna zespolona by się rozciągnęła, a gdyby był mniejszy niż $1$‍, o by się skurczyła. Z obrotami sprawa wygląda inaczej, ponieważ po kilku obrotach możemy powrócić do miejsca, z którego wystartowaliśmy. Na przykład, jeśli obrócisz płaszczyznę o ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ pełnego obrotu, w ten sposób

To powtarzając ten obrót $5$‍ w sumie razy pod rząd powrócisz do sytuacji początkowej.

Liczba, która obraca w ten sposób płaszczyznę, to $\cos ({72}^{\circ })+i\sin ({72}^{\circ })$‍, ponieważ ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍.

Istnieją również inne rozwiązania, takie jak obrót o ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ kąta pełnego:

albo o ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ pełnego obrotu, tylko w drugą stronę:

Pięknie się składa, bo liczby zespolone, które są rozwiązaniem tego równania, tworzą wierzchołki pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy:

Spójrzmy teraz na równanie $z^6=-27$‍. Mamy znaleźć liczbę zespoloną $z$‍ taką, że mnożenie przez nią $6$‍ razy pod rząd rozciągnie płaszczyznę zespoloną z czynnikiem skali $27$‍, oraz obróci ją o ${180}^{\circ }$‍, ponieważ znak minus jest równoważny obrotowi o ${180}^{\circ }$‍.

Liczba, która poprzez $6$‍-krotne mnożenie rozciągnie płaszczyznę $27$‍ razy musi mieć moduł równy $\sqrt[6]{27}=\sqrt{3}$‍, a jeden z możliwych obrotów, który po $6$‍ złożeniach da obrót o ${180}^{\circ }$‍ to obrót o kąt ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍. A zatem jedną z liczb zespolonych, które są rozwiązaniem równania $z^6=-27$‍ jest

Istnieją jednak również inne rozwiązania! Wszystkie tworzą wierzchołki sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $\sqrt{3}$‍:

Czy widzisz, dlaczego?

Spróbujmy teraz uogólnić dwa ostatnie przykłady. Jeśli masz dane $w$‍ i $n$‍, a zadanie polega na znalezieniu rozwiązania $z$‍, tak, jak w poprzednim przykładzie, w którym $n=6$‍ i $w=-27$‍, zacznij od zapisania $w$‍ w postaci trygonometrycznej:

Stąd wynika, że w najprostszym przypadku argument $z$‍ musi być równy ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, a moduł $\sqrt[n]{r}$‍, skoro po pomnożenie $z$‍ przez siebie $n$‍ razy ma oznaczać obrót o kąt $\theta$‍ i skalowanie z czynnikiem skali $r$‍, dokładnie tak, jak byśmy mnożyli przez $w$‍, czyli

Aby znaleźć pozostałe rozwiązania, powinniśmy pamiętać, że kąt $\theta$‍ można także przedstawić jako $\theta +2\pi$‍, albo $\theta +4\pi$‍, albo ogólnie $\theta +2k\pi$‍ dla dowolnej liczby całkowitej $k$‍, ponieważ z punktu widzenia obrotu te kąty są równoważne. Ma to jednak znaczenie, jeśli obliczamy ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, bo zamiana $\theta$‍ na, na przykład, $\theta +2\pi$‍ przed podzieleniem przez $n$‍ da kąt, który już nie jest równoważny. To znaczy, że wszystkie rozwiązania będą miały postać

dla pewnych całkowitych wartości $k$‍. Każda z tych wartości da inną odpowiedź jeśli $k$‍ będzie się zmieniać od $0$‍ do $n-1$‍, lecz jeśli $k=n$‍ zauważymy, że kąt ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍ jest z punktu widzenia obrotów płaszczyzny równoważny kątowi ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, skoro różnią się o jeden pełen obrót. A zatem wszystkie możliwe rozwiązania odpowiadają wartościom $k$‍ leżącym pomiędzy $0$‍ a $n-1$‍.