Jaki jest dowód na to, że i^2 = (-1) nie ukrywam, że z biegu "automatycznie" wykonałem zadania, ale taki układ wydaje mi się nielogiczny, ponieważ wyjście poza zbiór liczb rzeczywistych i robienie zadań na liczbach umownych, które de facto nie istnieją, jest tylko abstrahowaniem, które nie ma odzwierciedlenia w realnym życiu. Wydaje mi się i mam nadzieję, że się mylę, dlatego bardzo prosiłbym o wyjaśnienie.

Liczby nierzeczywiste, będące częścią liczb zespolonych bardzo usprawniają obliczenia obwodów prądów przemiennych w elektrotechnice. I z tego względu mają ogromne zastosowane w realnym życiu.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 16

Lekcja 1: Czym są liczby urojone?

Wstęp do liczb urojonych

Google Classroom

Dowiedz się czym jest jednostka urojona i, liczby urojone i pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.

W trakcie nauki matematyki, mogłeś(łaś) zauważyć, że niektóre równania kwadratowe nie mają żadnych rozwiązań rzeczywistych.

Na przykład, próbuj jak chcesz, a nigdy nie uda Ci się znaleźć rzeczywistego rozwiązania równania

x^{2} = - 1

. Dzieje się tak, ponieważ niemożliwym jest podniesienie do kwadratu liczby rzeczywistej i dostanie w efekcie liczby ujemnej!

Jednakże, rozwiązanie równania

x^{2} = - 1

istnieje w nowym ciele (systemie) liczbowym, nazywanym ciałem liczb zespolonych.

Jednostka urojona

Rdzeniem tego nowego ciała jest jednostka urojona, nazywana czasem liczbą

i

Następujące stwierdzenia o liczbie

i

są prawdziwe:

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

Druga z własności mówi nam, że liczba

i

jest rzeczywiście rozwiązaniem równania

x^{2} = - 1

. Poprzednio nierozwiązywalne równanie staje się rozwiązywalne, jeżeli tylko dopuścimy jednostkę urojoną!

Liczby urojone

Liczba

i

w żadnym razie nie jest jedyna w swoim rodzaju! Biorąc wielokrotności jednostki urojonej, możemy stworzyć nieskończoną ilość liczb urojonych.

Na przykład, wszystkie z liczb

3 i

i \sqrt{5}

oraz

- 12 i

są liczbami urojonymi, czyli liczbami o formie

b i

, gdzie

b

jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Branie kwadratów tych liczb może przybliżyć nam ich związek z liczbami rzeczywistymi. Sprawdźmy to na przykładzie: weźmy kwadrat liczby

3 i

. Własności całkowitych potęg pozostają takie same, więc wzięcie kwadratu

3 i

daje taki wynik, jakiego byśmy się spodziewali.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Używając faktu, że

i^{2} = - 1

, możemy to uprościć jeszcze bardziej, jak pokazano poniżej.

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

Fakt, że

(3 i)^{2} = - 9

oznacza, że

3 i

jest pierwiastkiem z liczby

- 9

Sprawdź, czy rozumiesz

Ile wynosi $(4 i)^{2}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Które z poniższych jest pierwiastkiem kwadratowym z $- 16$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

W ten sposób widzimy, że liczby urojone są pierwiastkami z liczb ujemnych!

Upraszczanie liczb urojonych

Poniższa tabela pokazuje przykłady liczb urojonych w obu formach: nieuproszczonej oraz uproszczonej.

Forma nieuproszczona	Forma uproszczona
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Jak jednak wygląda takie uproszczenie liczby urojonej?

Przyjrzyjmy się pierwszemu przykładowi i zobaczmy, czy umiemy prześledzić owe uproszczenie.

Oryginalna równoważność	Proces myślowy
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	Pierwiastek kwadratowy z $- 9$ ‍ jest liczbą urojoną. Pierwiastkiem kwadratowym z $9$ ‍ jest $3$ ‍, więc pierwiastkiem kwadratowym z minus $9$ ‍ są $3$ ‍ jednostki urojone, czyli $3 i$ ‍.

Następująca własność tłumaczy językiem matematyki powyższy "proces myślowy".

Dla $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Po połączeniu tej własności z naszą wiedzą o pierwiastkach możemy upraszczać wszystkie liczby urojone. Spójrzmy na przykład.

Przykład

Uprość

\sqrt{- 18}

Rozwiązanie

Po pierwsze, zauważmy, że

\sqrt{- 18}

jest liczbą urojoną, gdyż jest to pierwiastek z liczby ujemnej. Możemy więc zacząć od zapisania

\sqrt{- 18}

jako

i \sqrt{18}

Dalej, możemy uprościć

\sqrt{18}

wykorzystując naszą dotychczasową wiedzę o upraszczaniu pierwiastków.

Cały przykład przedstawiony jest poniżej.

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & Dla a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9 jest dzielnikiem 18 będącym pełnym kwadratem \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} dla a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & Mnożenie jest przemienne \end{aligned}

Wynika z tego, że

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

[Wciąż nie do końca rozumiem. Potrzebuję jeszcze jednego przykładu.]

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Uprość

\sqrt{- 25}

[Potrzebuję pomocy!]

Zadanie 2

Uprość

\sqrt{- 10}

[Potrzebuję pomocy!]

Zadanie 3

Uprość

\sqrt{- 24}

[Potrzebuję pomocy!]

W zasadzie, to po co nam liczby urojone?

Odpowiedź jest prosta. Jednostka urojona

i

pozwala nam na znajdowanie rozwiązań wielu równań, które nie mają rozwiązań w postaci liczb rzeczywistyych.

Może wydawać się to dziwne, ale w rzeczywistości jest to zwykła własność: wiele równań jest nierozwiązywalnych w pewnym ciele liczb, ale za to ma rozwiązania w pewnym innym, ogólniejszym, ciele liczb.

Podajemy kilka przykładów, które przybliżą potrzebę używania liczb urojonych.

Nie da się znaleźć rozwiązania $x + 8 = 1$ ‍ będącego liczbą naturalną; musimy do tego wprowadzić liczby całkowite!
Mając tylko liczby całkowite nie rozwiążemy równania $3 x - 1 = 0$ ‍; potrzebujemy do tego liczb wymiernych!
Mając tylko liczby wymierne, nie rozwiążemy równania $x^{2} = 2$ ‍. Musimy prowadzić liczby niewymierne, a zatem całe ciało liczb rzeczywistych!

Podobnie, mając tylko liczby rzeczywiste, nie rozwiążemy równania

x^{2} = - 1

. Potrzebujemy do tego liczb urojonych!

Przy dalszej nauce matematyki zrozumiesz wagę tych liczb.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

ogre2000
Opublikowane 5 lat temu. Odnosi się do postu ogre2000's o treści “Wydaje mi się, że w tym z...”
Wydaje mi się, że w tym zdaniu: "Nie da się znaleźć rozwiązania x+8=1x+8=1x+8=1 będącego liczbą naturalną; musimy do tego wprowadzić liczby całkowite!" zakończenie powinno brzmieć: "...wprowadzić liczby całkowite ujemne", ew. "wprowadzić liczby rzeczywiste". Chodzi i zaznaczenie, że chodzi o liczby ujemne, a nie o całkowite. Wynikiem tego równania jest co prawda liczba całkowita, ale ważniejsze od tego jest to, że jest ona ujemna. Chyba o to chodziło autorowi?
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(1 głos)
Odpowiedź
albertrafalski
Opublikowane 7 lat temu. Odnosi się do postu albertrafalski's o treści “Jaki jest dowód na to, że...”
Jaki jest dowód na to, że i^2 = (-1)
nie ukrywam, że z biegu "automatycznie" wykonałem zadania, ale taki układ wydaje mi się nielogiczny, ponieważ wyjście poza zbiór liczb rzeczywistych i robienie zadań na liczbach umownych, które de facto nie istnieją, jest tylko abstrahowaniem, które nie ma odzwierciedlenia w realnym życiu.
Wydaje mi się i mam nadzieję, że się mylę, dlatego bardzo prosiłbym o wyjaśnienie.
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiSkomentuj wpis użytkownika albertrafalski o treści „Jaki jest dowód na to, że...”
(1 głos)
Odpowiedź
- ogre2000
  Opublikowane 5 lat temu. Odnosi się do postu ogre2000's o treści “Liczby nierzeczywiste, bę...”
  Liczby nierzeczywiste, będące częścią liczb zespolonych bardzo usprawniają obliczenia obwodów prądów przemiennych w elektrotechnice. I z tego względu mają ogromne zastosowane w realnym życiu.
  Kliknij, aby przejść do strony rejestracji
  (2 głosy)

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.