If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 16

Lekcja 1: Czym są liczby urojone?
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Liczby zespolone
Czym są liczby urojone?
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Potęgi jednostki urojonej

Google Classroom
Naucz się upraszczania dowolnej potęgi jednostki urojonej i. Na przykład uprość i²⁷ do postaci -i.
Wiemy, że i=−1 oraz że i2=−1.
Ale jak to jest z i3? i4? Z innymi całkowitymi potęgami i? Jak możemy je policzyć?

Obliczenie i3 oraz i4

Własności potęgowania mogą nam tutaj pomóc! Istotnie, gdy liczymy potęgę i, możemy używać własności potęgowania prawdziwych w ciele liczb rzeczywistych tak długo, dopóty wykładnik jest liczbą całkowitą.
Pamiętając o tym, znajdźmy i3 oraz i4.
Wiemy, że i3=i2⋅i. Ale skoro i2=−1, to widzimy, że:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
Podobnie i4=i2⋅i2. Znów, używając faktu, że i2=−1, możemy napisać, co następuje:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1

Inne potęgi i

Kontynuujmy tę metodę! Znajdźmy potęgi i o wykładniku większym od 4.
i5=i4⋅i     Własności potęgowania=1⋅iPonieważ i4=1=i
i6=i4⋅i2Własności potęgowania=1⋅(−1)Ponieważ i4=1 oraz i2=−1=−1
i7=i4⋅i3Własności potęgowania=1⋅(−i)Ponieważ i4=1 oraz i3=−i=−i
i8=i4⋅i4    Własności potęgowania=1⋅1Ponieważ i4=1 =1
Wyniki są podsumowane w tabeli.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i−1−i1i−1−i1

Pojawiająca się reguła

Z tabeli wynika, że potęgi i przechodzą powtarzalny cykl i, −1, −i oraz 1.
Używając tej własności, czy uda nam się znaleźć i20? Spróbujmy!
Poniższa lista wypisuje pierwsze 20 liczb pojawiających się w ciągu potęg i.
i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1
W związku z tym rozumowaniem i20 powinno być równe 1. Sprawdźmy, czy uda nam się to policzyć używając własności potęgowania. Pamiętaj, że możemy potęgować tutaj tak samo, jak postępowaliśmy z liczbami rzeczywistymi!
i20=(i4)5Własności potęgowania=(1)5i4=1=1Uprość
Jakkolwiek licząc widzimy, że i20=1.

Wyższe potęgi i

Załóżmy, że chcielibyśmy znaleźć i138. Moglibyśmy wypisać ciąg i, −1, −i, 1,... aż do 138. elementu, ale to zajęłoby nam zbyt dużo czasu!
Zauważ jednakże, że i4=1, i8=1, i12=1, itd., czyli - innymi słowy - i podniesiona do potęgi będącej wielokrotnością 4 jest równa 1.
Do uproszczenia i138, możemy użyć tego faktu wraz z ogólnymi własnościami potęgowania.

Przykład

Uprość i138.

Rozwiązanie

Liczba 138 nie jest wielokrotnością 4, ale 136 już jest! Użyjmy tego do uproszczenia i138.
i138=i136⋅i2Własności potęgowania=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Własności potęgowania=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1
Ostatecznie, i138=−1.
Teraz mógłbyś(abyś) spytać, dlaczego zapisaliśmy i138 jako i136⋅i2.
Skoro oryginalny wykładnik nie jest wielokrotnością 4, to znalezienie najbliższej wielokrotności 4 pozwoli nam uprościć potęgę do i, i2, lub i3, i to jedynie przy użyciu faktu, że i4=1.
Znalezienie tej liczby jest proste, jeżeli podzielimy oryginalny wykładnik przez 4. Jest to po prostu iloraz (bez reszty) pomnożony przez 4.

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Uprość i227.

Zadanie 2

Uprość i2016.

Zadanie 3

Uprość i537.

Wyzwanie

Które z poniższych jest równe i−1?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.