Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Potęgi jednostki urojonej

Naucz się upraszczania dowolnej potęgi jednostki urojonej i. Na przykład uprość i²⁷ do postaci -i.
Wiemy, że i=1 oraz że i2=1.
Ale jak to jest z i3? i4? Z innymi całkowitymi potęgami i? Jak możemy je policzyć?

Obliczenie i3 oraz i4

Własności potęgowania mogą nam tutaj pomóc! Istotnie, gdy liczymy potęgę i, możemy używać własności potęgowania prawdziwych w ciele liczb rzeczywistych tak długo, dopóty wykładnik jest liczbą całkowitą.
Pamiętając o tym, znajdźmy i3 oraz i4.
Wiemy, że i3=i2i. Ale skoro i2=1, to widzimy, że:
i3=i2i=(1)i=i
Podobnie i4=i2i2. Znów, używając faktu, że i2=1, możemy napisać, co następuje:
i4=i2i2=(1)(1)=1

Inne potęgi i

Kontynuujmy tę metodę! Znajdźmy potęgi i o wykładniku większym od 4.
i5=i4i     Własności potęgowania=1iPonieważ i4=1=i
i6=i4i2Własności potęgowania=1(1)Ponieważ i4=1 oraz i2=1=1
i7=i4i3Własności potęgowania=1(i)Ponieważ i4=1 oraz i3=i=i
i8=i4i4    Własności potęgowania=11Ponieważ i4=1 =1
Wyniki są podsumowane w tabeli.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i1i1i1i1

Pojawiająca się reguła

Z tabeli wynika, że potęgi i przechodzą powtarzalny cykl i, 1, i oraz 1.
Używając tej własności, czy uda nam się znaleźć i20? Spróbujmy!
Poniższa lista wypisuje pierwsze 20 liczb pojawiających się w ciągu potęg i.
i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1
W związku z tym rozumowaniem i20 powinno być równe 1. Sprawdźmy, czy uda nam się to policzyć używając własności potęgowania. Pamiętaj, że możemy potęgować tutaj tak samo, jak postępowaliśmy z liczbami rzeczywistymi!
i20=(i4)5Własności potęgowania=(1)5i4=1=1Uprość
Jakkolwiek licząc widzimy, że i20=1.

Wyższe potęgi i

Załóżmy, że chcielibyśmy znaleźć i138. Moglibyśmy wypisać ciąg i, 1, i, 1,... aż do 138. elementu, ale to zajęłoby nam zbyt dużo czasu!
Zauważ jednakże, że i4=1, i8=1, i12=1, itd., czyli - innymi słowy - i podniesiona do potęgi będącej wielokrotnością 4 jest równa 1.
Do uproszczenia i138, możemy użyć tego faktu wraz z ogólnymi własnościami potęgowania.

Przykład

Uprość i138.

Rozwiązanie

Liczba 138 nie jest wielokrotnością 4, ale 136 już jest! Użyjmy tego do uproszczenia i138.
i138=i136i2Własności potęgowania=(i434)i2136=434=(i4)34i2Własności potęgowania=(1)34i2i4=1=11i2=1=1
Ostatecznie, i138=1.
Teraz mógłbyś(abyś) spytać, dlaczego zapisaliśmy i138 jako i136i2.
Skoro oryginalny wykładnik nie jest wielokrotnością 4, to znalezienie najbliższej wielokrotności 4 pozwoli nam uprościć potęgę do i, i2, lub i3, i to jedynie przy użyciu faktu, że i4=1.
Znalezienie tej liczby jest proste, jeżeli podzielimy oryginalny wykładnik przez 4. Jest to po prostu iloraz (bez reszty) pomnożony przez 4.

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Uprość i227.

Zadanie 2

Uprość i2016.

Zadanie 3

Uprość i537.

Wyzwanie

Które z poniższych jest równe i1?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.