Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 17

Lekcja 4: Równanie okręgu w postaci rozwiniętej

Przypomnienie równania okręgu

Przypomnij sobie równanie okręgu w postaci kanonicznej i ogólnej i rozwiąż kilka zadań na ten temat.

Jak wygląda równanie okręgu w postaci kanonicznej?

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Jest to standardowa forma równania okręgu o środku w punkcie o współrzędnych

(h, k)

i promieniu

r

Równanie okręgu można też zapisać w postaci ogólnej, którą otrzymujemy z postaci kanonicznej przez rozwinięcie wyrażeń kwadratowych i uproszczenie wyrazów podobnych.

Na przykład, postać kanoniczna równania okręgu o środku w punkcie

(1, 2)

i promieniu

3

ma formę

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

. A tak wygląda postać ogólna:

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

Chcesz dowiedzieć się więcej o równaniach okręgu? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie 1: równanie okręgu w postaci kanonicznej

Zadanie 1.1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

W jakim punkcie znajduje się środek tego okręgu?

(

,

)

Jaki jest jego promień?
Jeśli trzeba, zaokrąglij odpowiedź do dwóch miejsc po przecinku.

jednostek

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia oraz do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: zapisywanie równań okręgów

Zadanie 2.1

Okrąg ma promień równy

\sqrt{13}

jednostek i środek w punkcie

(- 9, 3; 4, 1)

Zapisz równanie tego okręgu.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: równanie okręgu w postaci ogólnej

Aby odczytać informację ukrytą w równaniu okręgu zapisanym w postaci ogólnej, powinniśmy zapisać je w postaci kanonicznej. Najprościej zrobić to za pomocą metody, znanej jako "uzupełnianie do pełnego kwadratu."

Rozważmy, na przykład, przekształcenie równania okręgu

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

z postaci ogólnej do postaci kanonicznej:

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

Teraz widzimy, że środek okręgu znajduje się w punkcie

(- 9, - 7)

, a jego promień wynosi

5

Zadanie 3.1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

W jakim punkcie znajduje się środek tego okręgu?

(

,

)

Ile jest równy promień tego okręgu?

jednostek

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia oraz do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.