Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 11

Lekcja 24: Własności logarytmów (Algebra poziom 2)

Wstęp do własności logarytmów

Dowiedz się o własnościach logarytmów i jak z nich korzystać. Na przykład, rozwiń log₂(3a).


Logarytm iloczynu	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Logarytm ilorazu	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Logarytm potęgi	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(Te własności są prawdziwe dla dowolnych wartości

M

N

b

, dla których logarytm jest zdefiniowany, czyli

M

N > 0

0 < b \neq 1

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Powinieneś wiedzieć, co to są logarytmy. Jeśli nie wiesz, sprawdź proszę nasz artykuł wstęp do logarytmów.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Logarytmy, tak jak wykładniki, mają wiele przydatnych własności, które można zastosować do upraszczania wyrażeń logarytmicznych i rozwiązywania równań logarytmicznych. W tym artykule zajmiemy się trzema z tych własności.

Przyjrzyjmy się każdej własności z osobna.

Logarytm iloczynu: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Ta własność mówi, że logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów jego czynników.

Oczywiście! Jeśli

M = 4

N = 8

b = 2

, to, zgodnie ze wzorem na logarytm iloczynu,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Poniższy przykład pokazuje słuszność tego wzoru w tym przypadku.

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Ponieważ 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & Obliczamy logarytmy \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Nie jest to oczywiście dowód na jego prawdziwość! Jest to jedynie przykład, który ma nam pokazać że ta własność jest prawdopodobna i dać nam ogólne pojęcie dlaczego tak jest.

Możemy wykorzystać wzór na logarytm iloczynu, aby inaczej zapisać wyrażenia z logarytmami.

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Mówiąc, że rozwijamy logarytm, mamy na myśli, że zapisujemy go jako sumę dwóch lub więcej logarytmów.

Rozwińmy

\log_{6} (5 y)

Zauważ, że czynnikami liczby logarytmowanej są

5

y

. Możemy bezpośrednio zastosować wzór na logarytm iloczynu, żeby rozwinąć to wyrażenie.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Wzór na logarytm iloczynu \end{aligned}

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Mówiąc o skracaniu sumy dwóch lub więcej logarytmów, mamy na myśli, że zapisujemy to w postaci jednego logarytmu.

Skróćmy

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Ponieważ oba logarytmy mają tę samą podstawę (podstawa wynosi

3

), możemy zastosować wzór na logarytm iloczynu w przeciwną stronę:

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Wzór na logarytm iloczynu \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Ważna uwaga

Jeśli skracamy wyrażenia z logarytmami za pomocą wzoru na logarytm iloczynu, wszystkie logarytmy muszą mieć tę samą podstawę.

Na przykład, nie możemy użyć wzoru na logarytm iloczynu, aby uprościć coś takiego jak

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozwiń $\log_{2} (3 a)$ ‍ .

2) Skróć $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

Logarytm ilorazu: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Ta własność mówi, że logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika.

Oczywiście! Jeśli

M = 81

N = 3

b = 3

, to, zgodnie z własnościami logarytmu,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

Poniższy przykład pokazuje słuszność tego wzoru w tym przypadku.

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & Ponieważ 81 : 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & Obliczamy logarytmy \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

Nie jest to oczywiście dowód na jego prawdziwość! Jest to jedynie przykład, który ma nam pokazać że ta własność jest prawdopodobna i dać nam ogólne pojęcie dlaczego tak jest.

Teraz skorzystajmy ze wzoru na logarytm ilorazu, aby przepisać te wyrażenia logarytmiczne.

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Rozwińmy

\log_{7} (\frac{a}{2})

, zapisując to jako różnicę dwóch logarytmów poprzez bezpośrednie zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Wzór na logarytm ilorazu \end{aligned}

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Zwińmy

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Ponieważ oba logarytmy mają tę samą podstawę (podstawa wynosi

4

), możemy zastosować wzór na logarytm ilorazu w przeciwną stronę:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Wzór na logarytm ilorazu \end{aligned}

Ważna uwaga

Jeśli skracamy wyrażenia z logarytmami za pomocą wzoru na logarytm ilorazu, wszystkie logarytmy muszą mieć tę samą podstawę.

Na przykład, nie możemy tego wzoru zastosować, aby skrócić coś takiego jak

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozwiń $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4) Skróć $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

Logarytm potęgi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Ta własność mówi, że logarytm potęgi jest równy wykładnikowi potęgi pomnożonemu przez logarytm podstawy potęgi.

Oczywiście! Jeśli

M = 4

p = 2

, a

b = 4

, to, zgodnie ze wzorem na logarytm potęgi,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

Poniższy przykład pokazuje prawdziwość własności w tym przypadku.

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & Ponieważ 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & Obliczamy logarytmy \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

Nie jest to oczywiście dowód na jego prawdziwość! Jest to jedynie przykład, który ma nam pokazać że ta własność jest prawdopodobna i dać nam ogólne pojęcie dlaczego tak jest.

Teraz skorzystajmy ze wzoru na logarytm potęgi, aby przepisać te wyrażenia logarytmiczne.

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

W tym artykule, rozwinięcie logarytmu oznaczać będzie zapisanie go w formie iloczynu innego logarytmu i zmiennej, bądź liczby.

Skorzystajmy ze wzoru na logarytm potęgi, aby rozwinąć

\log_{2} (x^{3})

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Logarytm potęgi \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Mówiąc o upraszczaniu wyrażenia składającego się z dwóch lub więcej logarytmów, mamy na myśli, że zapisujemy je w postaci jednego logarytmu.

Skorzystajmy ze wzoru na logarytm potęgi aby skrócić

4 \log_{5} (2)

Kiedy skracamy wyrażenie logarytmiczne za pomocą wzoru na logarytm potęgi, musimy z mnożnika zrobić wykładnik potęgi.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Logarytm potęgi \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Rozwiń $\log_{7} (x^{5})$ ‍.

6) Uprość $6 \ln (y)$ ‍.

Ćwiczenia sprawdzające

Żeby rozwiązać poniższe zadania, będziesz musiał zastosować różne własności w każdym z przypadków . Spróbuj!

7) Które z poniższych wyrażeń jest równe $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍?

8) Które z poniższych wyrażeń jest równe $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 11

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Logarytm iloczynu: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Ważna uwaga

Sprawdź, czy rozumiesz

Logarytm ilorazu: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Ważna uwaga

Sprawdź, czy rozumiesz

Logarytm potęgi: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenia sprawdzające

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Logarytm iloczynu: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Logarytm ilorazu: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Logarytm potęgi: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍