Upraszczanie wyrażeń zawierających pierwiastki trzeciego stopnia

Pomnóż i uprość: 5 razy pierwiastek sześcienny z 2x² razy 3 pierwiastki sześcienne z 4x⁴. Od razu – dwie sprawy. Możemy zmienić kolejność, bo mnożenie jest przemienne. Ta własność pozwala mnożyć w dowolnym porządku. Zacznijmy więc od stałych. Pomnóżmy 5 przez 3… Trzeba też pomnożyć dwa pierwiastki sześcienne, czyli wyrażenia podniesione do potęgi ⅓. Zatem ∛x to dokładnie to samo, co x do potęgi ⅓. Zmieńmy więc kolejność i przedstawmy pierwiastki w postaci potęgi ⅓. Mam tutaj 5 i 3… więc piszę: 5 razy 3… Zostaje pierwiastek sześcienny… dam nowy kolor. Mamy też pierwiastek sześcienny z 2x²… Mogę więc przedstawić to wszystko jako (2x²) do potęgi ⅓. Jest jeszcze pierwiastek sześcienny z 4x⁴, a to jest to samo, co 4x⁴ podniesione do potęgi ⅓. Z własności potęgowania, gdy mamy podnieść dwie rzeczy do tej samej potęgi i pomnożyć, to możemy je pomnożyć, a potem podnieść do potęgi. Jeśli więc mam „a” do potęgi „x” razy „b” do potęgi „x”, to jest to równoważne wyrażeniu (a · b) do potęgi „x”. Tę część możemy więc uprościć do postaci: 2x²… razy 4x⁴… podniesione do potęgi ⅓, i, oczywiście, 5 · 3 to 15. Uprościmy wyrażenie w nawiasie. Mnożenie jest przemienne, kolejność nieważna. I jest też łączne. Nieważne, jak pogrupujemy czynniki. To wszystko mnożenie. To jest 2 razy 4… czyli 6… pomnożone przez x² razy x⁴. x² razy x⁴ jest równe x⁶. Wszystko to podnosimy do potęgi ⅓. I to wszystko razy… Przepraszam, nie 6! 2 · 4 = 8. Co ja wyprawiam?! 2 razy 4 to 8! 2 razy 4 równa się 8, ale x² razy x⁴ to x⁶. Mój umysł dodawał wykładniki, dlatego 6. Oczywiście 2 · 4 to 8, nie 6! Dodajemy wykładniki: x² · x⁴ = x⁶. Podnosimy to do potęgi ⅓ i mnożymy przez 15. Możemy znów użyć tej własności… Chociaż nie tej. Wiemy, że jeśli mam coś… To jednak jest ta własność. Iloczyn podniesiony do potęgi. To jest to samo… to samo, co 8 do potęgi ⅓ razy x⁶ podniesione do potęgi ⅓ i to wszystko jeszcze mnożymy przez 15. 8 do potęgi ⅓ odpowiada pierwiastkowi 3 stopnia z 8. Zauważcie, że 8 równa się 2 razy 2 razy 2, więc 8 do potęgi ⅓ równa się 2. 8 to 2³, więc (2³) do potęgi ⅓ to po prostu 2¹. 2 razy 2 razy 2 to 8, zaś x⁶ do potęgi ⅓, z własności potęgowania, to „x” do potęgi (6 · ⅓), czyli do potęgi (6 ÷ 3). A 6 ÷ 3 to 2, czyli mamy tu po prostu x². Tu jest 15 razy 2, to 30… To jest to wszystko. I mamy jeszcze to wszystko tutaj. Napiszę innym kolorem. Mamy jeszcze… To nie jest inny kolor! To wszystko tutaj to „x” kwadrat. Gotowe. Ale są też inne sposoby. Zamiast używać potęg, moglibyście powiedzieć: „To iloczyn pierwiastków sześciennych, wyciągnę pierwiastek z iloczynu!” Zamiast symbolu potęgi można użyć pierwiastka, można też dowolnie pogrupować czynniki i zmienić kolejność. Wybierając odpowiednią własność potęgowania, powinniście dojść do tego samego wyniku.