Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 7

Lekcja 14: Łączenie funkcji

Dodawanie i odejmowanie funkcji

Zobacz w jaki sposób dodać lub odjąć dwie funkcje żeby stworzyć nową funkcję.

Tak jak możemy dodawać i odejmować liczby, tak możemy też dodawać i odejmować funkcje. Na przykład jeżeli mielibyśmy funkcje

f

g

, moglibyśmy utworzyć dwie nowe funkcje:

f + g

f - g

Dodawanie dwóch funkcji

Przykład

Spójrzmy na przykład, aby zrozumieć jak to działa.

Mając funkcje

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2} - 2 x + 5

, znajdź

(f + g) (x)

Rozwiązanie

Najtrudniejszą częścią łączenia funkcji jest zrozumienie zapisu. Co oznacza

(f + g) (x)

A więc

(f + g) (x)

oznacza sumę

f (x)

g (x)

. Matematycznie oznacza to, że

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Teraz jest to znany nam problem.

\begin{aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) Zdefiniuj. \\ = (x + 1) + (x^{2} - 2 x + 5) Podstaw. \\ = x + 1 + x^{2} - 2 x + 5 Opuść nawiasy. \\ = x^{2} - x + 6 Połącz wyrazy podobne. \end{aligned}

Możemy to też zobaczyć graficznie:

Poniżej przedstawiono wykresy funkcji

y = f (x)

y = g (x)

y = (f + g) (x)

Na pierwszym wykresie widać, że

f (2) = 3

, a

g (2) = 5

. Na drugim wykresie widać, że

(f + g) (2) = 8

Więc

f (2) + g (2) = (f + g) (2)

, ponieważ

3 + 5 = 8

Teraz spróbuj sam. Załóż, że

f (1) + g (1) = (f + g) (1)

Oblicz każde wyrażenie.

f (1) =

g (1) =

(f + g) (1) =

Rozwiążmy kilka zadań

W zadaniach 1 i 2

a (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

oraz

b (x) = x^{2} + 8 x - 10

Zadanie 1

Znajdź $(a + b) (x)$ ‍.

Zadanie 2

Oblicz $(a + b) (- 1)$ ‍.

Istnieją dwa sposoby, aby znaleźć

(a + b) (- 1)

Metoda 1: Znajdź

(a + b) (x)

i oblicz, gdy

x = - 1

Dowiedzieliśmy się w poprzednim zadaniu, że

(a + b) (x) = 4 x^{2} + 3 x - 8

. Podstawmy

x = - 1

$\begin{aligned} (a + b) (x) & = 4 x^{2} + 3 x - 8 \\ (a + b) (- 1) & = 4 (- 1)^{2} + 3 (- 1) - 8 \\ = 4 - 3 - 8 \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Metoda 2: Znajdź

a (- 1)

b (- 1)

i dodaj otrzymane wyniki.

Najpierw znajdź

a (- 1)

$\begin{aligned} a (x) & = 3 x^{2} - 5 x + 2 \\ a (- 1) & = 3 (- 1)^{2} - 5 (- 1) + 2 \\ = 3 + 5 + 2 \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Teraz znajdź

b (- 1)

$\begin{aligned} b (x) & = x^{2} + 8 x - 10 \\ b (- 1) & = (- 1)^{2} + 8 (- 1) - 10 \\ = 1 - 8 - 10 \\ = - 17 \end{aligned}$ ‍

Otrzymujemy:

$\begin{aligned} (a + b) (- 1) & = a (- 1) + b (- 1) \\ = 10 + (- 17) \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Skoro w poprzednim zadaniu dowiedzieliśmy, że

(a + b) (x)

, metoda 1 może być bardziej skuteczna.

Odejmowanie dwóch funkcji

Odejmowanie dwóch funkcji od siebie działa w podobny sposób. Poniżej znajduje się przykład:

Przykład

p (t) = 2 t - 1

oraz

q (t) = - t^{2} - 4 t - 1

Znajdź

(q - p) (t)

Rozwiązanie

Także tym razem najtrudniejszą częścią jest zrozumienie zapisu. Lecz po przeanalizowaniu przykładu na dodawanie funkcji,

(q - p) (t)

oznacza właśnie to co myślałeś!

Z definicji,

(q - p) (t) = q (t) - p (t)

. Teraz możemy rozwiązać zadanie.

\begin{aligned} (q - p) (t) \\ = q (t) - p (t) Definicja. \\ = (- t^{2} - 4 t - 1) - (2 t - 1) Podstaw. \\ = - t^{2} - 4 t - 1 - 2 t + 1 Wymnóż razy minus. \\ = - t^{2} - 6 t Skróć wyrazy podobne. \end{aligned}

A więc

(q - p) (t) = - t^{2} - 6 t .

Rozwiążmy kilka zadań

Zadanie 3

j (n) = 3 n^{3} - n^{2} + 8

k (n) = - 8 n^{2} + 3 n - 5

Znajdź $(j - k) (n)$ ‍.

Zadanie 4

g (x) = 4 x^{2} - 7 x + 2

h (x) = 2 x - 5

Oblicz $(h - g) (3)$ ‍.

Istnieją dwa sposoby, aby znaleźć

(h - g) (3)

Metoda 1: Znajdź

h (3)

g (3)

i odejmij otrzymane wyniki.

Najpierw znajdź

h (3)

$\begin{aligned} h (x) & = 2 x - 5 \\ h (3) & = 2 (3) - 5 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Teraz znajdź

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = 4 x^{2} - 7 x + 2 \\ g (3) & = 4 (3)^{2} - 7 (3) + 2 \\ = 36 - 21 + 2 \\ = 17 \end{aligned}$ ‍

Mamy więc:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = h (3) - g (3) \\ = 1 - 17 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Metoda 2: Znajdź

(h - g) (x)

i oblicz, gdy

x = 3

$\begin{aligned} (h - g) (x) & = (2 x - 5) - (4 x^{2} - 7 x + 2) \\ = 2 x - 5 - 4 x^{2} + 7 x - 2 \\ = - 4 x^{2} + 9 x - 7 \end{aligned}$ ‍

Gdy

x = 3

, otrzymujemy:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = - 4 (3)^{2} + 9 (3) - 7 \\ = - 36 + 27 - 7 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Korzystając z jakiejkolwiek z metod, widzimy, że

(h - g) (3) = - 16

Zastosowanie

Na pewnej uczelni zauważono, że liczbę mężczyzn

M

i liczbę kobiet

W

otrzymujących dyplom licencjata

t

lat przed 1980 rokiem można modelować funkcjami

M (t) = 526 - t

W (t) = 474 + 2 t

, odpowiednio.

Niech

N

będzie całkowitą liczbą studentów, którzy otrzymali dyplom licencjata na tej uczelni

t

lat przed 1980 rokiem.

Zapisz wyrażenie dla $N (t)$ ‍.

N (t) =

Sprawdź, czy rozumiesz

Poniżej przedstawiono wykresy funkcji

y = f (x)

y = g (x)

Który wykres przedstawia $y = (f + g) (x)$ ‍?

Obliczmy

(f + g) (x)

dl poszczególnego argumentu

x

. Następnie możemy to wykorzystać, aby wybrać poprawny wykres. Niech

x = 4

\begin{aligned} (f + g) (4) & = f (4) + g (4) \\ = 4 + g (4) Skoro f (4) = 4 \\ = 4 + 0 Skoro g (4) = 0 \\ = 4 \end{aligned}

A więc

(f + g) (4) = 4

, co oznacza, że wykres funkcji

y = (f + g) (x)

musi przechodzić przez punkt

(4, 4)

. Skoro jedynie wykres

A

przechodzi przez punkt

(4, 4)

, musi być on poprawnym wykresem.

Powyższe wyjaśnienie podano dla

x = 4

, lecz będzie odpowiednie dla jakiegokolwiek argumentu

x

. Poniższa tabela przedstawia informacje na temat innych argumentów

x

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$(f + g) (x)$ ‍
$- 8$ ‍	$- 8$ ‍	$0$ ‍	$- 8$ ‍
$- 6$ ‍	$- 6$ ‍	$1$ ‍	$- 5$ ‍
$- 4$ ‍	$- 4$ ‍	$0$ ‍	$- 4$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$- 3$ ‍
$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍
$2$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍
$4$ ‍	$4$ ‍	$0$ ‍	$4$ ‍
$6$ ‍	$6$ ‍	$- 1$ ‍	$5$ ‍
$8$ ‍	$8$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

A więc wykres funkcji

y = (f + g) (x)

musi przechodzić przez punkty

(- 8, - 8)

(- 6, - 5)

(- 4, - 4)

(- 2, - 3)

(0, 0)

(2, 3)

(4, 4)

(6, 5)

(8, 8)

. Odpowiada to wykresowi

A

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.