Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 7

Lekcja 14: Łączenie funkcji

Wprowadzenie do łączenia funkcji

Zapoznaj się z pomysłem dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia dwóch funkcji żeby stworzyć nową funkcję.

Tak jak możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, możemy również dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić funkcje.

Suma dwóch funkcji

Część 1: Tworzenie nowej funkcji poprzez dodanie dwóch funkcji

Dodajmy do siebie

f (x) = x + 1

g (x) = 2 x

, aby utworzyć nową funkcję.

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Nazwijmy tę nową funkcję funkcją

h

. Otrzymujemy:

$h (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

Część 2: Obliczanie połączonej funkcji

Możemy także obliczać połączone funkcje dla poszczególnych danych. Obliczmy powyższą funkcję

h

dla

x = 2

. Poniżej przedstawiono dwa sposoby rozwiązania tej funkcji.

Metoda 1: Wstaw

x = 2

do funkcji

h

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 (2) + 1 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

Metoda 2: Znajdź

f (2)

g (2)

i dodaj wyniki.

Skoro

h (x) = f (x) + g (x)

, możemy znaleźć

h (2)

, obliczając

f (2) + g (2)

Najpierw obliczmy

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

Następnie obliczmy

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \cdot 2 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Więc

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

Zauważ, że po podstawieniu

x = 2

od razu do funkcji

h

i obliczeniu

f (2) + g (2)

otrzymaliśmy taki sam wynik!

Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.

W zadaniu 1 i 2, niech

f (x) = 3 x + 2

, a

g (x) = x - 3

Zadanie 1

Znajdź $f (x) + g (x)$ ‍.

Zadanie 2

Oblicz $f (- 1) + g (- 1)$ ‍.

Oto kilka sposobów na rozwiązanie tego zadania.

Metoda 1: Znajdź

f (- 1)

g (- 1)

oddzielnie. Następnie dodaj do siebie.

Najpierw znajdźmy

f (- 1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ f (- 1) & = 3 (- 1) + 2 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

Następnie znajdźmy

g (- 1)

$\begin{aligned} g (x) & = x - 3 \\ g (- 1) & = - 1 - 3 \\ = - 4 \end{aligned}$ ‍

A zatem

f (- 1) + g (- 1) = - 1 + (- 4) = - 5

Metoda 2: Najpierw znajdź

f (x) + g (x)

, a następnie oblicz wyrażenie, gdy

x = - 1

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (3 x + 2) + (x - 3) \\ = 3 x + 2 + x - 3 \\ = 4 x - 1 \end{aligned}$ ‍

Gdy

x = - 1

, wyrażenie jest równe

4 (- 1) - 1

lub

- 5

Powiązanie graficzne

Możemy zrozumieć, na czym polega dodawanie dwóch funkcji patrząc na wykresy.

Wykresy funkcji

y = m (x)

y = n (x)

przedstawiono poniżej. Zauważ, że na pierwszym wykresie

m (4) = 2

. Natomiast na drugim

n (4) = 5

Niech

p (x) = m (x) + n (x)

. A teraz spójrz na wykres

y = p (x)

. Zauważ, że

p (4) = 2 + 5 = 7

Patrząc na trzy wykresy, zauważ że

p (x) = m (x) + n (x)

dla każdego argumentu

x

Poćwiczmy

Zadanie 3

Wykresy funkcji

y = f (x)

y = g (x)

przedstawiono poniżej.

Który z poniższych jest przybliżonym wynikiem $f (3) + g (3)$ ‍?

Inne sposoby na łączenie funkcji

Wszystkie dotychczasowe przykłady, które przeanalizowaliśmy pokazywały, jak utworzyć nową funkcję poprzez dodanie dwóch funkcji, ale możesz także odejmować, mnożyć i dzielić, aby stworzyć nowe funkcje!

Na przykład, jeżeli

f (x) = x + 3

oraz

g (x) = x - 2

, to możemy znaleźć nie tylko ich sumę, ale również ...

... różnicę.

\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) Podstaw. \\ = x + 3 - x + 2 Wciągnij minus pod nawias. \\ = 5 Połącz wyrazy podobne. \end{aligned}

... iloczyn.

\begin{aligned} f (x) \cdot g (x) & = (x + 3) (x - 2) Podstaw. \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 Wymnóż nawiasy. \\ = x^{2} + x - 6 Połącz wyrazy podobne. \end{aligned}

... iloraz.

\begin{aligned} f (x) : g (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} Podstaw. \end{aligned}

Dzięki temu właśnie utworzyliśmy trzy nowe funkcje!

Wyzwanie

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

Oblicz $p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)$ ‍.

Znajdźmy

p (3)

q (3)

r (3)

poprzez podstawienie

t = 3

do każdego ze wzorów.

Najpierw obliczmy

p (3)

$\begin{aligned} p (t) & = t + 2 \\ p (3) & = 3 + 2 \\ = 5 \end{aligned}$ ‍

Następnie znajdźmy

q (3)

$\begin{aligned} q (t) & = t - 1 \\ q (3) & = 3 - 1 \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Na koniec znajdźmy

r (3)

$\begin{aligned} r (t) & = t \\ r (3) & = 3 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

Możemy teraz znaleźć

p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)

, jak następuje:

\begin{aligned} p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3) & = 5 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \\ = 30 - 5 \\ = 25 \end{aligned}

Moglibyśmy również znaleźć najpierw

p (t) \cdot q (t) \cdot r (t) - p (t)

, a potem obliczyć wartość tego wyrażenia dla

t = 3

. To byłoby jednak bardziej skomplikowane, gdyż wynikiem byłby wielomian trzeciego stopnia!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Karol Korzeniewski
Opublikowane 5 lat temu. Odnosi się do postu Karol Korzeniewski's o treści “O co chodzi w zadaniu 3?”
O co chodzi w zadaniu 3?
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(1 głos)
Odpowiedź
- stcyprian
  Opublikowane 4 lata temu. Odnosi się do postu stcyprian's o treści “Sprawdzasz dla 3 na osi x...”
  Sprawdzasz dla 3 na osi x (bo jest f(3) i g(3) - czyli badasz dla x=3) jaka jest wartość y.
  g(3)=3 - odczytujesz wartość z osi y,
  f(3)=6.
  Dodając 3 i 6 (wartości y'greków dla x'a równego 3) y=9.
  Zatem nowa funkcja powstała po połączeniu funkcji f i g - w punkcie x=3 będzie miała wartość y=9.
  Kliknij, aby przejść do strony rejestracji
  (1 głos)

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.