Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 7

Lekcja 14: Łączenie funkcji

Mnożenie i dzielenie funkcji

Zobacz w jaki sposób można pomnożyć lub podzielić dwie funkcje i uzyskać nową funkcję.

Tak jak możemy mnożyć i dzielić liczby, tak samo możemy mnożyć i dzielić funkcje. Na przykład jeżeli mielibyśmy funkcje

f

g

, moglibyśmy utworzyć dwie nowe funkcje:

f \cdot g

\frac{f}{g}

Mnożenie dwóch funkcji

Przykład

Spójrzmy na poniższy przykład, aby zrozumieć jak to działa.

Podane są funkcje

f (x) = 2 x - 3

g (x) = x + 1

. Znajdź

(f \cdot g) (x)

Rozwiązanie

Najtrudniejszą częścią łączenia funkcji w nową funkcję jest zrozumienie zapisu. Co oznacza

(f \cdot g) (x)

A więc

(f \cdot g) (x)

oznacza iloczyn

f (x)

g (x)

. Z matematycznego punktu widzenia, oznacza to, że

(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)

Teraz jest to znany nam problem.

\begin{aligned} (f \cdot g) (x) & = f (x) \cdot g (x) & Definicja. \\ = (2 x - 3) \cdot (x + 1) & Podstawienie. \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 & Wymnożenie. \\ = 2 x^{2} - x - 3 & Redukcja wyrazów podobnych. \end{aligned}

Uwaga: Uprościliśmy wynik, aby otrzymać zgrabniejsze wyrażenie, lecz nie jest to konieczne.

Rozwiążmy kilka zadań.

zadanie 1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

Znajdź $(c \cdot d) (y)$ ‍.

Zadanie 2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

Oblicz $(m \cdot n) (- 1)$ ‍.

Dzielenie dwóch funkcji

Dzielenie dwóch funkcji działa w podobny sposób. Oto przykład.

Przykład

h (n) = 2 n - 1

j (n) = n + 3

Znajdźmy

(\frac{j}{h}) (n)

Rozwiązanie

Z definicji,

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

Teraz możemy rozwiązać zadanie.

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} & Definicja. \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} & Podstawienie. \end{aligned}

Dwie ważne uwagi o tej funkcji:

Końcową postać odpowiedzi otrzymaliśmy, upraszczając wyjściowe wyrażenie.
Argument $n = \frac{1}{2}$ ‍ nie należy do dziedziny funkcji. Jest tak, ponieważ $2 n - 1 = 0$ ‍ w $n = \frac{1}{2}$ ‍, a dzielenie przez $0$ ‍ jest niezdefiniowane.

Rozwiążmy kilka zadań

Zadanie 3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

Znajdź $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍.

Zadanie 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

Oblicz $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍.

Zadanie 5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

Dla jakiego argumentu $x$ ‍ funkcja $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍ jest niezdefiniowana?

Zastosowanie

Dystans i czas, które przebiegnie Jordan w ciągu dnia, zależy od liczby godzin,

h

, które przepracowuje. Dystans,

D

, wyrażony w milach i czas,

T

, wyrażony w minutach, które przebiegnie, są dane funkcjami odpowiednio:

D (h) = - 0, 5 h + 8, 5

T (h) = - 6 h + 90

Niech funkcja

S

oznacza średnią prędkość, z jaką biega Jordan w dzień, gdy pracuje

h

godzin.

Zadanie 6

Która z poniższych odpowiedzi poprawnie określa funkcję $S$ ‍?

Wyzwanie

Poniżej przedstawiono wykresy funkcji

y = f (x)

y = g (x)

Który wykres przedstawia funkcję $y = (f \cdot g) (x)$ ‍?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.