Symetria modeli algebraicznych

Ale najpierw odświeżmy sobie naszą pamięć dotyczącą symetrii funkcji.

Teraz rzućmy okiem na przykład.

Energia zgromadzona w sprężynie, $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis, w dżulach, jest funkcją deformacji sprężyny, $x$x, w metrach, w porównaniu do stanu równowagi. Dodatnie $x$x oznacza rozciągniętą sprężynę, a ujemne $x$x oznacza ściśniętą sprężynę. Wykres $y=E(x)$y, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis jest pokazany poniżej.

Czego możemy się nauczyć o kontekście na podstawie symetrii wykresu?

Zastosujmy naszą wiedzę odnośnie symetrii do funkcji $E$E.

Jeśli odbijesz wykres funkcji $E$E względem osi $Y$Y, to wyląduje on na tym samym miejscu.

Zatem funkcja $E$E jest parzysta. Oznacza to, że $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis dla wszystkich $x$x.

Co oznacza, że "$E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis dla wszystkich $x$x" ?

Ponieważ stwierdzenie to jest prawdziwe dla wszystkich $x$x, możemy powiedzieć, że $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis jest prawdą kiedy $x=2$x, equals, 2, $x=4$x, equals, 4, $x=10$x, equals, 10, itd. Zacznijmy od zastanowienia się co oznacza to stwierdzenie dla konkretnej wartości $x$x, w tym przypadku dla $x=2$x, equals, 2.

Jeśli $x = 2$x, equals, 2, to $E(-2)=E(2)$E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis.

Skupienie się na tym, co przedstawia każda zmienna, pomoże nam z tą interpretacją. Pamiętaj, że dodatnie wejście oznacza rozciąganie się sprężyny a ujemne wejście oznacza ściskanie sprężyny, oraz że wartość wyjściowa oznacza energię zgromadzoną w sprężynie.

W tym świetle widzimy, że $\purpleC{E}(\greenD{-2})=\purpleC{E}(\goldD{2})$start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis oznacza, że $\greenD{\text{sprężyna ściśnięta o } 2 \text{ metry}}$start color #1fab54, start text, s, p, r, ę, z, with, \., on top, y, n, a, space, s, with, \', on top, c, i, s, with, \', on top, n, i, ę, t, a, space, o, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, y, end text, end color #1fab54 posiada tyle samo $\purpleC{\text{ energii}}$start color #aa87ff, start text, space, e, n, e, r, g, i, i, end text, end color #aa87ff co $\goldD{\text{ta sama sprężyna rozciągnięta o } 2 \text{ metry}}$start color #e07d10, start text, t, a, space, s, a, m, a, space, s, p, r, ę, z, with, \., on top, y, n, a, space, r, o, z, c, i, ą, g, n, i, ę, t, a, space, o, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, y, end text, end color #e07d10.

Teraz jesteśmy gotowi do ogólnego stwierdzenia, że $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis, co jest naszym ostatecznym celem.

Korzystając jako wskazówki z przykładów powyżej, widzimy, że $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis oznacza, że sprężynka ściśnięta o $x$x metrów ma tyle samo energii potencjalnej co sprężynka rozciągnięta o $x$x metrów.

Innymi słowy: Sprężynka ściśnięta o daną długość ma tyle samo energii co sprężynka rozciągnięta o tę samą długość.

Spróbujmy rozwiązać inny przykład.

Patryk zwykle używa $20$20 kilogramów drewna dziennie w swoim piecu na drewno żeby utrzymać temperaturę w domu na poziomie $25$25 stopni Celsjusza. Próbuje dostosować ilość drewna, $w$w, które spala, żeby zobaczyć jak zmieni się temperatura. Konkretnie, dodatnie $w$w oznacza dodanie $w$w kilogramów drewna, a ujemne $w$w oznacza odjęcie $w$w kilogramów drewna. Wykres $y=T(w)$y, equals, T, left parenthesis, w, right parenthesis jest pokazany poniżej, $T(w)$T, left parenthesis, w, right parenthesis oznacza zmianę temperatury w domu Patryka.

Wykres funkcji $T$T jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Tak więc funkcja $T$T jest funkcją nieparzystą. Algebraicznie oznacza to, że $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis dla wszystkich $w$w.

Żeby zinterpretować symetrię w tym przypadku, musimy zamienić zdanie matematyczne “dla każdej wartości $w$w, $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis” na słowa odpowiadające kontekstowi.

I ponownie, zacznijmy od myślenia o znaczeniu tego zdania dla konkretnej wartości $w$w. Następnie się cofniemy i będziemy mogli uogólnić.

Skupmy się na tym, że dodatni argument oznacza dodawanie a ujemny argument* oznacza odejmowanie drewna, oraz że wartościami wyjściowymi funkcji są zmiany temperatury.

Widzimy więc, że $\blueC{T}(\maroonC{-1})=-{\blueC T}(\purpleD{1})$start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis oznacza $\blueC{\text{zmianę temperatury}}$start color #63d9ea, start text, z, m, i, a, n, ę, space, t, e, m, p, e, r, a, t, u, r, y, end text, end color #63d9ea, która wynika ze spalenia o $\maroonC{1 \text{ kilogram drewna mniej}}$start color #ed5fa6, 1, start text, space, k, i, l, o, g, r, a, m, space, d, r, e, w, n, a, space, m, n, i, e, j, end text, end color #ed5fa6 i jest przeciwieństwem wyniku spalenia o $\purpleD{1 {\text { kilogram drewna więcej}}}$start color #7854ab, 1, start text, space, k, i, l, o, g, r, a, m, space, d, r, e, w, n, a, space, w, i, ę, c, e, j, end text, end color #7854ab.

Możemy teraz uogólnić i zinterpretować zdanie symetrii dla $w$w w ogóle.

Innymi słowy: Zwiększenie i zmniejszenie spalanego drewna o określoną ilość będą miały dokładnie odwrotny wpływ na temperaturę w domu.

Ogólnie kiedy interpretujemy znaczenie symetrii wykresu funkcji, pomocne są następujące kroki:

Krok $1$1: Zdecyduj, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta i określ, co to algebraicznie znaczy.

Krok $2$2: Zrozum co przedstawia która zmienna na podstawie kontekstu.

Krok $3$3: Wymyśl zdanie, które będzie używało znaczenia zmiennych i porównywało wartości wyjściowe dla przeciwnych wartości wejściowych.

Malwina uczy się prowadzić nowy rodzaj pojazdu. Prędkość pojazdu zależy od ustawienia pokrętła. Prędkość pojazdu, $V(x)$V, left parenthesis, x, right parenthesis, kilometrach na godzinę, jest funkcją pozycji pokrętła, $x$x. Zauważ, że $x>0$x, is greater than, 0 oznacza, że pokrętło jest obrócone o $x$x jednostek zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a $x<0$x, is less than, 0 oznacza, że pokrętło jest obrócone o $x$x jednostek przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Wykres $y=V(x)$y, equals, V, left parenthesis, x, right parenthesis jest pokazany poniżej.