Odwracanie macierzy 3x3 część 1: Obliczanie macierzy minorów i macierzy dołączonej — film z polskimi napisami

Teraz zrobię jedną z moich najmniej lubianych rzeczy do robienia ręcznie, czyli odwracanie macierzy 3 na 3. To może być przydatne ponieważ możecie rozwiązywać układy tym sposobem. Ale zobaczycie, że jest to bardzo forsowne obliczeniowo. Lepiej to zrobić przy pomocy komputera. Jedyną rzeczą bardziej bolesną jest odwracanie macierzy 4 na 4 czy 4 na 5, co mogłoby -- macierzy 4 na 4 czy 5 na 5 co mogłoby trwać cały dzień. I prawdopodobnie -- zdecydowanie popełniłbym jakiś błąd. Ale zróbmy to po prostu krok po kroku. Pierwszą rzeczą którą zrobię, to jest moja macierz 3 na 3 będzie skonstruowanie macierzy minorów. Więc skonstruuje tutaj macierz Macierz Minorów Narysuje to naprawdę wielkie, o tutaj by dać nam jakąś przestrzeń. Macierz minorów, robicie - dla każdego elementu w tej macierzy, wykreślacie odpowiadający rząd, odpowiadającą kolumnę. I zastępujecie go wyznacznikiem elementów które pozostały. Więc co zostaje kiedy usuniecie ten rząd i kolumnę, minorem jest 1, 1, 4, 5. Więc wyznacznik 1, 1, 4, 5. Kontynuujmy to. To będzie zastąpione -- dam wam najpierw o tym pomyśleć. Czym zostanie to zastąpione? To zostanie zastąpione -- ten rząd, ta kolumna. Wyznacznik 2, 1, 3, 5. Kontynuujmy. Zajmijmy się tym elementem. Będzie on zastąpiony przez wyznacznik, usuwamy ten rząd, tę kolumnę, 2, 1, 3, 4. 2, 1, 3 ,4. Jesteśmy w jednej trzeciej drogi, przynajmniej pierwszego etapu. Dla tego elementu, zastąpimy go przez jego minor. Więc usuwamy ten rząd tę kolumnę. Wyznacznik -2, 2, 4, 5. -2, 2, 4, 5. Teraz mamy -- staram się rozsądnie zamieniać kolory --ten element. Usuwamy środkowy rząd, środkową kolumnę. Zostajecie z wyznacznikiem -1, 2, -1, 2, 3, 5. Teraz przechodzimy do -- teraz naprawdę wyczerpują mi się kolory -- ten element, którego minorem jest -- usuniemy ten rząd, tę kolumnę -- -1, -2, 3, 4. Niech to zobaczę. Przepraszam, czyjś alarm samochodowy zaczął dzwonić na zewnątrz. Upewnię się, że nie rozkojarzyłem się tutaj. Nie chcę zrobić żadnych błędów z nieostrożności. Ten rząd, ta kolumna, -1, -2, 3, 4. W porządku. Teraz przejdźmy tutaj. Usuwamy pierwszą kolumnę, ostatni rząd. Macie -2, 2, 1, 1. Mamy -2, 2, 1, 1. Teraz przejdźmy do tego. Środkowa kolumna, dolny rząd, macie -1, 2, 2, 1. Mamy -1, 2, 2, 1. Teraz jesteśmy na ostatniej prostej przynajmniej dla macierzy minorów. Patrzymy na ten element. Usuwamy ostatnią kolumnę, ostatni rząd. Zostajecie z -1, -2, 2, 1. Więc wyznacznik -1, -2, 2, 1. I teraz musimy już tylko wyliczyć każdy z nich by otrzymać właściwą macierz minorów. To jest tylko jej reprezentacja. Zróbmy to. Więc jeszcze raz, wciąż jesteśmy na etapie otrzymywania naszej macierzy minorów. Właściwie nie muszę już rysować jej tak dużej, ponieważ teraz będziemy mieli numeryczne wartości. Nie będą to te małe wyznaczniki dwa na dwa. Więc czym jest wyznacznik, ten tutaj w górnym lewie? To będzie 1 razy 5 minus 1 razy 4. 1 razy 5 minus 4 razy 1. Więc to będzie 5 minus 4, czyli 1. Jaki jest wyznacznik tutaj, ten niebieski wyznacznik? To będzie 2 razy 5, czyli 10 minus 3 razy 1. Więc 10 minus 3 to 7. Do czego wyliczy się wyznacznik na górnym lewie? Więc macie 2 razy 4 to 8, minus 3 razy 1. Czyli 8 minus 3, czyli 5. Teraz przechodzimy tutaj. -2 razy -- Do czego wyliczy się ten wyznacznik? Mamy -2 razy 5 to -10, minus 4 razy 2. Czyli -10 minus 8, czyli -18. Teraz mamy -1 razy 5, czyli -5, minus 3 razy 2. To jest -5 minus 6, czyli -11. Zrobię to na biało, -11. Do czego wyliczy się ten wyznacznik? Mamy -1 razy 4, -4, minus -6. Czyli -4 plus 6, czyli 2. Chce to zrobić w tym -- to jest 2. Zostały nam trzy. Do czego się to wylicza? -2 razy 1 to -2, minus 1 razy 2. Czyli -2 minus 2 daje nam -4. Ostatnia prosta. -1 razy -1 to -1, minus 2 razy 2. Czyli -1 minus 4, czyli -5. I w końcu mamy -1 razy 1, to -1 minus 2 razy -2. czyli minus -4. Czyli -1 minus -4. To to samo co dodanie 4. Więc -1 plus 4. Czyli to będzie równe 3. To tutaj to prawdziwa macierz minorów. I stąd możemy otrzymać nasze dopełnienie algebraiczne. Możemy otrzymać macierz dopełnień algebraicznych po prostu pamiętając schemat szachownicy. Więc schemat szachownicy mówi nam dodatnie, ujemne, dodatnie, ujemne,dodatnie,ujemne, dodatnie,ujemne,dodatnie. To się trochę samo tłumaczy dlaczego nazywa się to schematem szachownicy. Więc gdy oznaczymy tę macierz minorów w tym schemacie, to otrzymamy naszą macierz dopełnień algebraicznych. Więc utwórzmy naszą macierz dopełnień algebraicznych tutaj. Więc to jest nasze dopełnienie algebraiczne. Dużo terminologii, ale mam nadzieję, że to zaczyna mieć sens. Nasza macierz dopełnień algebraicznych. Więc musimy tylko zastosować, te znaki do tych wartości, do macierzy minorów. Więc 1 będzie teraz dotyczyć dodatni znak. To będzie 1. Będziecie mieli 7, ale jego będzie dotyczyć ujemny znak. Więc to będzie -7. Macie 5, dodatnie 5. 5 jest już dodatnie. Mnożycie to przez dodatniość, i będzie dodatnie. Teraz macie -18, ale teraz musimy pomnożyć je przez ujemność. Więc otrzymacie 18. Macie -11, pomnóżcie to przez 1. I wciąż otrzymacie -11. Macie dodatnie 2, pomnóżcie przez -1. Będziecie mieli -2. Teraz macie -4, pomnóżcie przez 1. Wciąż otrzymujecie -4. I teraz macie -5. Co znajdzie się w macierzy dopełnień algebraicznych? Więc bierzecie -5 pomnóżcie przez -1. Macie 5. I w końcu macie 3, pomnóżcie przez 1. Wciąż otrzymacie 3. Więc zaszliśmy już dość daleko w naszej podróży, tej wielce forsownej obliczniowo podróży -- której niespecjalnie lubię robić -- znajdowania odwrotności przez dochodzenie do macierzy dopełnień algebraicznych. Teraz wystarczy wziąć ten wyznacznik, pomnożyć to razy 1 przez wyznacznik i skończyliśmy. Wyliczyliśmy odwrotność macierzy C.