Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 20

Lekcja 3: Podstawowe operacje na wierszach macierzy

Operacje na wierszach macierzy

Dowiedz się co to są elementarne operacje na wierszach macierzy. Dzięki tym operacjom możemy rozwiązać każdy, nawet najbardziej skomplikowany układ równań liniowych w (stosunkowo) prosty sposób! Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Operacje na wierszach macierzy

Poniższa tabela zawiera podsumowanie trzech elementarnych operacji na wierszach macierzy.

Elementarna operacja na wierszach macierzy	Przykład
Zamiana dwóch dowolnych wierszy miejscami	$\left[\begin{array}{rr}{\blueD2} & {\blueD5} &{ \blueD{3}} \\ \greenD{3} &\greenD {4} &\greenD {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rr} \greenD{3} & \greenD{4} &\greenD {6}\\\blueD{2} &\blueD {5} &\blueD{ 3} \end{array}\right]\\\\~~\\ \\ \small{\text{(Zamiana wiersza 1 z 2.)}}$
Mnożenie wiersza przez dowolną liczbę różną od zera	$\left[\begin{array}{rr}{\maroonD2} & {\maroonD5} &{ \maroonD3} \\ {3} & {4} & {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}{\goldD3 \cdot \maroonD2} & {\goldD3 \cdot \maroonD5} &{ \goldD3 \cdot \maroonD3} \\ { 3} & { 4} & { 6} \end{array}\right] \\~\\ \small{\text{(Mnożenie wiersza 1 przez liczbę 3.)}}$
Dodawanie do siebie dwóch wierszy	$\left[\begin{array}{rr}{\tealD2} &\tealD5 &{ \tealD{3}} \\ \purpleC{3} &\purpleC {4} &\purpleC {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr} {\tealD2} &\tealD5&{\tealD3}\\\purpleC{3}+\tealD2 & \purpleC{4}+\tealD5 &\purpleC{6} +\tealD3\end{array}\right]\\~~\\ \small{\text{(Wiersz 2 jest sumą wierszy 2 i 1.)}}$

Operacje elementarne na wierszach macierzy można wykorzystać w celu rozwiązania układu równań, lecz zanim zobaczymy, jak to się robi, poćwiczmy to, czego się właśnie nauczyliśmy.

Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy

Przykład

Wykonaj operację W, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, W, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Rozwiązanie

W, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, W, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript oznacza, że mamy zamienić miejscami wiersz start color #11accd, 1, end color #11accd z wierszem start color #1fab54, 2, end color #1fab54.

Macierz

\left[\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

po operacji zamiany wierszy staje się macierzą

\left[\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Czasem możesz napotkać następującą notację dla operacji zamiany wierszy miejscami.

\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] \xrightarrow{{R_1\leftrightarrow R_2}}\left[\begin{array} {rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 &8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Zauważ, że wiersz 1 przenosimy na miejsce wiersza 2, a wiersz 2 przenosimy na miejsce wiersza 1. Trzeci wiersz pozostaje na swoim miejscu.

zadanie 1

Wykonaj operację W, start subscript, 2, end subscript, \leftrightarrow, W, start subscript, 3, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array} \right]

Zadanie 2

Wykonaj operację W, start subscript, 3, end subscript, \leftrightarrow, W, start subscript, 1, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} 2 & 11 & -5 \\ 7 & 2 & 18 \\ 0& -4 & 10 \end{array} \right]

Pomnóż wiersz macierzy przez stałą, różną od 0

Przykład

Wykonaj operację 3, W, start subscript, 2, end subscript, right arrow, W, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Rozwiązanie

Polecenie start color #ca337c, 3, end color #ca337c, W, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, W, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript oznacza zastąpienie start color #e07d10, 2, start text, end text, end color #e07d10 wiersza przez ten wiersz pomnożony przez start color #ca337c, 3, end color #ca337c:

Macierz

\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

po operacji podstawienia ma postać

\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\cdot \goldD{2} &\maroonD{3}\cdot \goldD{3} &\maroonD{3}\cdot \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Taka operacja na wierszach macierzy jest zazwyczaj oznaczana w ten sposób:

\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{\Large{3W_2\rightarrow W_2}}\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Zauważ, że zastępujemy drugi wiersz przez wynik mnożenia drugiego wiersza przez trzy. Dwa pozostałe wiersze pozostają niezmienione.

Zadanie 3

Wykonaj operację 2, W, start subscript, 1, end subscript, right arrow, W, start subscript, 1, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right]

Zadanie 4

Wykonaj operację minus, 5, W, start subscript, 3, end subscript, right arrow, W, start subscript, 3, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rr} -2 & 1 \\ 7 & 4 \\ -3&6 \end{array} \right]

Dodawanie wierszy do siebie

Przykład

Wykonaj operację W, start subscript, 1, end subscript, plus, W, start subscript, 2, end subscript, right arrow, W, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right]

Rozwiązanie

Polecenie W, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, W, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, W, start subscript, 2, end subscript oznacza zastąpienie 2, start text, end text wiersza przez sumę start color #01a995, 1, start text, end text, end color #01a995 i start color #aa87ff, 2, start text, end text, end color #aa87ff wiersza.

Macierz

\left[\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right]

po operacji podstawienia ma postać

\left[\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]

Taka operacja na wierszach macierzy jest zazwyczaj oznaczana w ten sposób:

\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\Large{W_1+W_2\rightarrow W_2}} \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]

Zauważ, że zastępujemy drugi wiersz przez sumę pierwszego i drugiego wiersza przez trzy. Pozostały wiersz pozostaje niezmieniony.

Zadanie 5

Wykonaj operację W, start subscript, 1, end subscript, plus, W, start subscript, 3, end subscript, right arrow, W, start subscript, 3, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array} \right]

Zadanie 6

Wykonaj operację W, start subscript, 2, end subscript, plus, W, start subscript, 3, end subscript, right arrow, W, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} -4 & 12 & 9 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 10 \end{array} \right]

Wyzwanie

Wykonaj operację W, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, W, start subscript, 3, end subscript, right arrow, W, start subscript, 1, end subscript na wierszach następującej macierzy:

\left[\begin{array} {rrr} -5 & 7 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 8 & 8 & -6 \end{array} \right]

Układy równań i operacja na wierszach macierzy

Przypomnijmy, że w macierzy rozszerzonej każdy wiersz reprezentuje jedno równanie, a każda kolumna reprezentuje zmienną lub stały wyraz.

Na przykład, układ równań po lewej odpowiada macierzy rozszerzonej po prawej stronie.

Układ równań	Macierz
$\begin{aligned} 1x+3y &=5\\2x+5y &=6\end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rr}1&3&5\\2&5&6\end{array}\right]$

W przypadku macierzy rozszerzonej, po wykonaniu dowolnej elementarnej operacji na wierszach macierzy otrzymamy nową macierz rozszerzoną odpowiadającą układowi równań, który jest równoważny - to znaczy ma te same rozwiązania - co układ wyjściowy. Zobaczmy teraz, dlaczego.

Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy

Układy równoważne	Macierz rozszerzona
$\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rr}1&3&5\\2&5&6\end{array}\right]$
	\downarrow
$\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rr}2&5&6\\1&3&5\end{array}\right]$

Dwa układy równań przedstawione powyżej są równoważne, ponieważ kolejność równań nie ma żadnego znaczenia. W języku macierzy rozszerzonej oznacza to, że możemy zamienić miejscami dowolne dwa wiersze.

Pomnóż wiersz macierzy przez stałą, różną od 0

Jeśli pomnożymy obie strony równania przez tą samą liczbę, różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne wyjściowemu równaniu.

Rozwiązując układy równań często korzystamy z tego, aby wyeliminować jedną z niewiadomych. Skoro te dwa równania są równoważne, nowy układ równań jest równoważny wyjściowemu.

Układy równoważne	Macierz rozszerzona
$\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\2x+5y &=6\end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rr}\maroonD1 & \maroonD3 &\maroonD5 \\2&5&6\end{array}\right]$
	\downarrow
$\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\2x+\phantom{(-)}5y &=6\end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rr}\goldD{-2}&\goldD{-6}& \goldD{-10}\\2&5&6\end{array}\right]$

Dwa układy równań przedstawione powyżej są równoważne, ponieważ pomnożenie obu stron jednego z równań przez różną od zera stałą daje w wyniku równoważny układ równań. W języku macierzy rozszerzonej oznacza to, że możemy pomnożyć dowolny wiersz przez stałą, różną od zera liczbę.

Dodawanie wierszy do siebie

Wiemy, że do obu stron równania możemy dodać tą samą wielkość i równanie będzie nadal prawdziwe.

A zatem, jeśli A, equals, B oraz C, equals, D, to A, plus, C, equals, B, plus, D.

Często postępujemy w ten sposób, rozwiązując układy równań. Na przykład w układzie

\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}

, możemy dodać równania do siebie, otrzymując minus, y, equals, minus, 4.

Łącząc to nowe równanie z jednym z równań wyjściowego układu, otrzymamy równoważny układ równań.

[Dlaczego w takim razie nadal korzystamy z jednego z wyjściowych równań?]

Układy równoważne	Macierz rozszerzona
$\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\2x+5y &=6\end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rrr}-2&-6&-10\\2&5&6\end{array}\right]$
	\downarrow
$\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}$	$\left[\begin{array}{rr}-2&-6&-10\\0&-1&-4\end{array}\right]$

Dwa układy równań przedstawione powyżej są równoważne, ponieważ dodanie do siebie dwóch równań daje w wyniku równoważny układ równań. W języku macierzy rozszerzonej oznacza to, że możemy dodać do siebie dwa dowolnie wybrane wiersze.

Wyzwanie na podsumowanie

W macierzy

\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right]

wykonano sekwencje elementarnych operacji na wierszach. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki kolejnych kroków.

Przyporządkuj operacje na wierszach do poszczególnych kroków.

Macierz wyjściowa:

\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right]

Zauważ, że wyjściowa macierz odpowiada macierzy rozszerzonej układu równań

\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned}

, natomiast wynik odpowiada

\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned}

, czyli po prostu rozwiązaniu tego układu.

Rozwiązaliśmy układ równań dokonując elementarnych operacji na wierszach macierzy rozszerzonej układu!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.