Macierze jako odwzorowania - odwzorowania jako macierze

Jeśli pomyślimy o macierzy z perspektywy przekształceń płaszczyzny, może to pomóc nam lepiej zrozumieć operacje na macierzach. Taka perspektywa pomoże wyjaśnić nazwy operacji na macierzach takie jak mnożenie oraz da nam możliwość narysowania ładnych obrazków. Ten materiał porusza tematykę algebry liniowej (wprowadzanej zazwyczaj na uniwersytecie).

Koncepcja "przekształcenia" na początku może wydawać bardziej skomplikowana niż w rzeczywistości, dlatego zanim przejdziemy do tego jak macierze $2 \times 2$2, times, 2 przekształcają przestrzeń dwuwymiarową, albo jak macierze $3 \times 3$3, times, 3 przekształcają przestrzeń trójwymiarową, zobaczmy jak można wyobrazić sobie macierze stopnia pierwszego (czyli macierze $1 \times 1$1, times, 1) jako przekształcenia przestrzeni jednowymiarowej.

Przestrzeń jednowymiarowa to po prostu oś liczbowa.

Co się stanie, jeśli pomnożymy każdą liczbę na osi przez konkretną wartość, np. $2$2? Można to przedstawić w następujący sposób:

Zachowaliśmy kopię oryginalnej osi dla porównania, a następnie przesunęliśmy każdą liczbę na osi na pozycję oznaczającą liczbę 2 razy większą.

Mnożenie przez $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction może być przedstawione w podobny sposób:

Aby nie pominąć tutaj liczb ujemnych, oto mnożenie przez $-3$minus, 3:

Dla spragnionych terminologii, operacje przedstawione na animacjach można określić mianem "przekształceń liniowych przestrzeni jednowymiarowej". Słowo "przekształcenie" oznacza to samo co “funkcja”: działanie gdzie liczba jest zamieniana na inną, jak w przypadku $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x. Jednak, podczas gdy zazwyczaj przedstawiamy funkcje na wykresach, słowa “przekształcenie” używa się zwykle aby wskazać, że jakiś obiekt jest w ruchu, jest rozciągany, zmniejszany, itp. Dlatego funkcja $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x przedstawiona jako przekształcenie daje nam "Mnożenie przez $2$2" z powyższego video. Przenosi punkt $1$1 na miejsce na osi gdzie wcześniej było $2$2, przenosi $2$2 w miejsce gdzie wcześniej było $4$4, itp.

Zanim przejdziemy do przestrzeni dwuwymiarowej, jest jeszcze jedna sprawa, o której zawsze powinniśmy pamiętać. Przypuśćmy, że oglądasz jedno z tych odwzorowań, wiedząc, że jest to mnożenie przez pewną liczbę, ale nie wiedząc jaka to liczba, tak jak w tym przypadku:

Łatwo można zgadnąć o mnożenie przez jaką liczbę chodzi $\goldE{\text{śledząc gdzie przemieszcza się }1}$start color #a75a05, start text, s, with, \', on top, l, e, d, z, ą, c, space, g, d, z, i, e, space, p, r, z, e, m, i, e, s, z, c, z, a, space, s, i, ę, space, end text, 1, end color #a75a05. W tym przypadku $1$1 trafia w miejscu gdzie wcześniej było $-3$minus, 3, więc można stwierdzić, że animacja przedstawia mnożenie przez $-3$minus, 3.

Odwzorowanie liniowe w przestrzeni dwuwymiarowej to specjalny rodzaj funkcji, która odwzorowuje dwuwymiarowy wektor $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ i na inny wektor dwuwymiarowy. Tak jak wcześniej, słowo “odwzorowanie” oznacza, że myślimy o rozciąganiu lub kurczeniu czegoś, a w tym przypadku ma to miejsce w przestrzeni dwuwymiarowej. Oto kilka przykładów:

Musimy pamiętać, że aby odwzorowanie było liniowe, musi mieć następujące własności: Początek układu współrzędnych musi pozostać na swoim miejscu, a wszystkie proste muszą pozostać prostymi. Dlatego wszystkie odwzorowania w powyższej animacji są liniowe, ale te pokazane poniżej już nie:

Wyobraź sobie, że oglądasz konkretne odwzorowanie, na przykład takie

Jak można je opisać koledze, który nie ogląda tej animacji? Już nie możesz tego opisać używając pojedynczej liczby, np. śledząc przemieszczanie się liczby $1$1, jak w przypadku przestrzeni jednowymiarowej. Aby móc lepiej to wszystko śledzić, narysujmy zieloną strzałkę na wektorze $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$, a czerwoną strzałkę na wektorze $\redD{\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$, zachowując początkową siatkę w tle.

Teraz znacznie łatwiej zobaczyć jak się wszystko zmienia. Zobacz animację jeszcze raz i skup się np. na wektorze $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]$, możemy łatwo zauważyć, że staje się on wektorem $\left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right]$.

Możemy to przedstawić za pomocą następującego zapisu:

Zauważ, że wektor, np. $\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right]$, który na początku był $2$2 razy większy od zielonej strzałki, po przekształceniu pozostaje $2$2 razy większy od zielonej strzałki. Ponieważ zielona strzałka stała się $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]}$, możemy wywnioskować, że

$\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \rightarrow 2 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array} \right]$.

Oraz ogólnie

Podobnie możemy określić usytuowanie osi $Y$Y na podstawie tego, gdzie wylądowała czerwona strzałka $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ , a w tym odwzorowaniu jest to wektor $\redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]}$.

Tak naprawdę, jeśli wiemy gdzie znajdą się $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ i $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ , będziemy mogli określić jak ma się przemieścić dowolny punkt na płaszczyźnie. Skupmy się np. na punkcie $\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right]$ na naszej animacji:

Początkowo jest to $-1$minus, 1 razy zielona strzałka plus $2$2 razy czerwona strzałka, ale pozostaje on $-1$minus, 1 razy zielona strzałka plus $2$2 razy czerwona strzałka, co po przekształceniu oznacza

To, że można tak "rozbić" wektor, określając go względem innych wektorów zarówno przed jak i po przekształceniu jest charakterystyczne dla odwzorowań liniowych.

Ogólnie jeśli każdy wektor $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ można rozłożyć jako

Jeśli zielona strzałka $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ stanie się pewnym wektorem $\greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]}$, a czerwona strzałka $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ stanie się pewnym wektorem $\redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]}$, wektor $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ musi przenieść się na

Bardzo dobrym sposobem opisania tego procesu jest przedstawienie danego odwzorowania liniowego za pomocą macierzy,

której pierwsza kolumna mówi nam gdzie wyląduje $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ , a druga kolumna mówi nam gdzie wyląduje $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ . Teraz możemy opisać gdzie znajdzie się dowolny wektor $\textbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ w sposób bardzo zwięzły, jako iloczyn macierzy i wektora

Tak naprawdę to właśnie stąd pochodzi definicja iloczynu macierzy i wektora.

Dlatego tak samo jak odwzorowania liniowe w jednym wymiarze mogą być opisane jako mnożenie przez jakąś liczbę, a dokładniej liczbę na którą powędruje $1$1, odwzorowania liniowe w dwóch wymiarach zawsze można opisać jako macierz $2 \times 2$2, times, 2, a dokładniej tę, której pierwsza kolumna wskazuje gdzie znajdzie się$\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$, a druga kolumna wskazuje gdzie znajdzie się$\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$.