If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Własności dodawania macierzy

Przedstawiamy własności operacji dodawania macierzy (takie, jak przemienność) i dyskutujemy ich związki ze znanym Ci dodawaniem liczb rzeczywistych.
W poniższej tabeli A, B i C to macierze mające takie same wymiary.
WłasnośćPrzykład
Przemienność dodawaniaA+B=B+A
Łączność dodawaniaA+(B+C)=(A+B)+C
Element neutralny dodawaniaDla dowolnej macierzy A istnieje unikalna macierz O taka, że A+O=A.
Macierz przeciwnaDla każdej macierzy A istnieje unikalna macierz A taka, że A+(A)=O.
Domknięcie dodawaniaA+B to macierz mająca takie same wymiary, co macierze A i B.
W tym artykule badamy własności dodawania macierzy.

Macierze i dodawanie macierzy

Macierz to prostokątne ułożenie liczb w wiersze i kolumny. Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz A ma 2 wiersze i 3 kolumny, a zatem jest to macierz 2×3.
Żeby dodać dwie macierze o tych samych wymiarach, musimy po prostu dodać elementy na odpowiadających sobie miejscach.
[3724]+[5281]=[3+57+22+84+1]=[89105]
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, sprawdź najpierw następujące artykuły zanim przejdziesz dalej:

Uwagi na temat wymiarów

Zauważ, że suma dwóch macierzy 2×2 to inna macierz 2×2. Generalnie, suma dwóch macierzy m×n to będzie zawsze inna macierz m×n. To opisuje właśnie domknięcie dodawania macierzy.
Jeśli wymiary dwóch macierzy nie są takie same, to ich dodawanie nie jest określone. Jest tak, ponieważ jeśli macierz A to macierz 2×3, a B to macierz 2×2, to niektóre elementy macierzy A nie będą miały odpowiadających elementów w macierzy B!
[278243]+[5281]=niezdefiwnioane

Dodawanie macierzy i dodawanie liczb rzeczywistych

Ponieważ dodawanie macierzy opiera się głównie na dodawaniu liczb rzeczywistych, wiele z własności dodawania znanych nam już wcześniej ze świata liczb rzeczywistych będzie prawdziwe również dla macierzy.
Przyjrzyjmy się każdej własności z osobna.

Przemienność dodawania: A+B=B+A

Własność ta mówi, że możesz dodać dwie macierze w dowolnej kolejności i otrzymasz ten sam wynik.
Jest to odpowiednik przemienności dodawania dla liczb rzeczywistych. Na przykład 3+5=5+3.
Następujący przykład pokazuje tę własność macierzy.
[3724]+[5281]=[3+57+22+84+1]=[5+32+7 8+21+4](Real # addition is commutative.) =[5281]+[3724]
Zauważ, że przemienność dodawania dla macierzy działa dzięki przemienności dodawania liczb rzeczywistych!

Łączność dodawania: (A+B)+C=A+(B+C)

Ta własność mówi, że jeśli zmienisz pogrupowanie w dodawaniu macierzy, to i tak otrzymasz ten sam wynik. Na przykład możesz dodać macierz A do macierzy B w pierwsze kolejności, a potem dodać macierz C, albo możesz dodać macierz B do macierzy C, a potem wynik dodać do macierzy A.
Jest to odpowiednik łączności dodawania dla liczb rzeczywistych. Na przykład (2+3)+5=2+(3+5).
Uzasadnijmy to patrząc na przykład.
W każdej kolumnie uprościliśmy jedną stronę tożsamości do pojedynczej macierzy. Dwie wynikowe macierze są równoważne dzięki łączności dodawania liczb rzeczywistych. Na przykład (5+3)+1=5+(3+1).
Dzięki tej własności możemy zapisać wyrażenie, takie jak A+B+C i będzie ono zdefiniowane. Nie musimy używać nawiasów wskazujących które dodawanie wykonać w pierwszej kolejności, bo nie ba to znaczenia!

Element neutralny dodawania: A+O=A

Macierz zerowa, zapisywana jako O, to macierzy, w której wszystkie elementy równe są 0.
Zauważ, że kiedy macierz zerowa dodawana jest do dowolnej macierzy A, wynikiem jest zawsze macierz A.
  • [3179]+[0000]=[3179]
  • [000000]+[283157]=[283157]
Te przykłady pokazują co to jest element neutralny dodawania; że suma dowolnej macierzy A i odpowiadającej jej macierzy zerowej to zawsze będzie macierz A.
Macierz zerową można porównać do liczby zero w systemie liczb rzeczywistych. Dla każdel liczby rzeczywistej a wiemy, że a+0=a. Liczba 0 to element neutralny dodawania w systemie liczb rzeczywistych, tak jak O w dodawaniu macierzy.

Macierz przeciwna względem dodawania: A+(A)=O

Macierz przeciwna do macierzy A to macierz A, czyli taka, w której każdy element jest liczbą przeciwną do odpowiadającego mu elementu macierzy A.
Na przykład jeśli A=[2831], to A=[2831].
Jeśli dodamy A do A, to otrzymamy macierz zerową, co pokazuje własności dodawania macierzy przeciwnej.
A+(A)=[2831]+[2831]=[2+28+(8)3+31+(1)]=[0000]
Suma liczby rzeczywistej i liczby do niej przeciwnej zawsze wynosi 0, i tak samo suma dowolnej macierzy i macierzy przeciwnej daje nam macierz zerową. Z tego powodu mówimy o macierzach przeciwnych addytywne odwrotności.

Sprawdź, czy rozumiesz

W poniższych zadaniach A, B i C to macierze 2×2.
1) Które z poniższych wyrażeń są równoważne (A+B)+C?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

2) Które z następujących wyrażeń są równoważne (A+(A))+B?
Pamiętaj, że A i B to macierze 2×2.
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.