Własności mnożenia macierzy przez skalar

W poniższej tabeli, $A$‍ i $B$‍ to macierze, które mają równe wymiary, $c$‍ i $d$‍ to skalary, a $O$‍ to macierz zerowa.

W tym artykule zbadamy te własności.

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.

W świecie macierzy, na liczby rzeczywiste mówimy skalary.

Termin mnożenie macierzy przez skalar oznacza iloczyn liczby rzeczywistej przez macierz. W mnożeniu macierzy przez skalar, każdy element macierzy zostaje pomnożony przez daną liczbę, czyli skalar.

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, sprawdź najpierw następujące artykuły zanim przejdziesz dalej:

Zauważ, że skalar pomnożony przez macierz $2\times 2$‍ daje w wyniku inną macierz $2\times 2$‍. Generalnie mnożenie pomnożenie skalara przez macierz da inną macierz o tych samych wymiarach. To właśnie jest domknięcie mnożenia przez skalar!

Ponieważ mnożenie przez skalar opiera się głównie na mnożeniu przez liczby rzeczywiste, wiele z własności mnożenia, które już znamy z liczb rzeczywistych, będzie prawdziwe także dla mnożenia przez skalar.

Przyjrzyjmy się każdej własności z osobna.

Własność ta oznacza, że jeśli macierze zostanie pomnożona przez dwa skalary, możesz równie dobrze najpierw pomnożyć przez siebie te skalary, a potem pomnożyć macierz przez skalar, który otrzymasz w wyniku. Możesz też pomnożyć macierz przez jeden skalar, a potem macierz otrzymaną w wyniku pomnożyć przez drugi.

Następujący przykład pokazuje tą własność dla $c=2$‍, $d=3$‍, i $A=\left[\begin{array}{rr}5& 4\\ 8& 1\end{array}\right]$‍.

W każdej kolumnie uprościliśmy jedną stronę równości do pojedynczej macierzy. Zauważ, że te dwie macierze są równe dzięki łączności mnożenia liczb rzeczywistych. Na przykład, $(2\cdot 3)\cdot 5=2\cdot (3\cdot 5)$‍.

To pokazuje, że wyjściowe wyrażenia muszą być także równe!

Rozdzielność oznacza w tym wypadku, że skalar (liczbę) można rozdzielić na dodawanie macierzy.

Oto przykład, w którym $c=2$‍, $A=\left[\begin{array}{rr}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right]$‍, a $B=\left[\begin{array}{rr}3& 4\\ 2& 6\end{array}\right]$‍:

Ostatnie macierze w każdej kolumnie są równe ze względu na rozdzielność mnożenia liczb rzeczywistych względem dodawania. Na przykład, $2(5+3)=2\cdot 5+2\cdot 3$‍.

To pokazuje, że dwa wyrażenia wyjściowe muszą być także równe!

Rozdzielność oznacza w tym wypadku, że macierz można rozdzielić na dodawanie skalarów (liczb).

Oto przykład, w którym $c=2$‍, $d=3$‍, a $A=\left[\begin{array}{rr}6& 9\\ 7& 4\end{array}\right]$‍:

Po raz kolejny widzimy że ostatnie macierze w każdej kolumnie są równe, dzięki rozdzielności mnożenia dla liczb rzeczywistych. A zatem wyjściowe wyrażenia są także równe!

Liczba $1$‍ jest elementem neutralnym mnożenia macierzy przez skalar. To znaczy, że jeśli pomnożysz dowolną macierz $A$‍ przez skalar $1$‍, w wyniku otrzymasz tę samą macierz $A$‍.

Na przykład, jeśli $A=\left[\begin{array}{rr}2& 5\\ 1& 7\end{array}\right]$‍, to zachodzi:

Zauważ, że ponieważ $1\cdot a=a$‍ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$‍, liczba (skalar) $1$‍ będzie zawsze elementem neutralnym mnożenia macierzy przez skalar!

Własność ta mówi, że w mnożeniu przez skalar, $0$‍ razy dowolna macierz $m\times n$‍ $A$‍ to macierz zerowa $m\times n$‍.

Jest to prawdą z powodu własności mnożenia przez zero w świecie liczb rzeczywistych. Jeśli $a$‍ jest liczbą rzeczywistą, wiemy, że $0\cdot a=0$‍. Pokazuje to następujący przykład.

Z własności tej wynika, że dowolny skalar pomnożony przez macierz zerową da w wyniku macierz zerową.

I ponownie, własność ta jest prawdziwa bo takie są własności mnożenia przez zero w świecie liczb rzeczywistych. Mamy tutaj przykład, w którym $c=3$‍, a $O$‍ to macierz zerowa $2\times 2$‍.

Kiedy już znasz wszystkie własności mnożenia przez skalar, sprawdźmy, czy możesz użyć ich do określenia równoważnych macierzy.

W poniższych zadaniach $A$‍ i $B$‍ będą macierzami $2\times 2$‍, a $c$‍ i $d$‍ będą skalarami.