If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wprowadzenie do macierzy jednostkowych

Dowiedz się, czym jest macierz jednostkowa i jakie ma własności w mnożeniu macierzy. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz A ma 2 wiersze i 3 kolumny, a zatem jest to macierz 2×3.
Jeśli masz poczucie, że ten materiał jest zupełnie nowy dla Ciebie, zajrzyj do rozdziału wprowadzenie do macierzy.
W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.

Definicja macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa n×n , oznaczona jako In, ma n rzędów i n kolumn. Elementy po przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu to same 1, a pozostałe elementy są równe 0.
Na przykład:
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]
Macierz jednostkowa odgrywa podobną rolę w działaniach na macierzach, co liczba 1 odgrywa w działaniach na liczbach rzeczywistych. Przyjrzyjmy się temu.

Zbadajmy to: mnożenie przez macierz jednostkową

Spróbuj zrobić kilka zadań z mnożeniem zawierającym odpowiednią macierz jednostkową.
1) I2=[1001], a A=[2351].
I2A=

2) I3=[100010001], a A=[154322413].
AI3=

Podsumowanie

Iloczyn dowolnej macierzy kwadratowej i odpowiedniej macierzy jednostkowej jest zawsze równy początkowej macierzy, niezależnie od kolejności, w jakiej wykonujemy mnożenie! Innymi słowy, AI=IA=A.

Związek z liczbami rzeczywistymi

Elementy neutralne mnożenia

Macierz jednostkowa I odgrywa podobną rolę, jaką liczba 1 odgrywa w świecie liczb rzeczywistych.
Liczba 1Macierz jednostkowa I
Iloczyn 1 i dowolnej liczby a wynosi a. (a1=1a=a)Iloczyn macierzy kwadratowej A i odpowiedniej macierzy jednostkowej I wynosi A. (AI=IA=A)

Elementy odwrotne mnożenia

Dwie liczby rzeczywiste, których iloczyn jest elementem neutralnym mnożenia, czyli po prostu jedynką, nazywamy elementami odwrotnymi mnożenia. Na przykład, liczby 13 i 3 są elementami odwrotnymi, ponieważ 133=1 oraz 313=1.
Wszystkie liczby rzeczywiste różne od zera posiadają liczby odwrotne względem mnożenia. Czy przez analogię jest to prawdą także w stosunku do macierzy?
Rozważmy dwie macierze A oraz B.
A=[2334] B=[4332]
Mnożąc je, możemy sprawdzić że AB=I2 oraz BA=I2.
Oznacza to, że A i B są elementami odwrotnymi względem mnożenia macierzy.
Jednakże, jak się przekonamy wkrótce, nie każda macierz posiada macierz odwrotną. Jest to jeden z przypadków, w których własności macierzy różnią się od własności liczb rzeczywistych!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.