Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 20

Lekcja 2: Przedstawianie liniowych układów równań za pomocą macierzy rozszerzonych

Przedstawianie liniowych układów równań za pomocą macierzy

Dowiedz się jak liniowe układy równań można przedstawić przez macierz rozszerzoną

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.

Macierze mogą pomóc nam rozwiązać układy równań liniowych. Ciekawe?Najpierw jednak, musimy się nauczyć, jak przedstawić układ równań w postaci macierzy.

Przedstawianie układu równań za pomocą macierzy

Układ równań liniowych można przedstawić w postaci macierzy rozszerzonej.

W macierzy rozszerzonej każdy wiersz reprezentuje jedno równanie, a każda kolumna reprezentuje zmienną lub stały wyraz.

Można więc powiedzieć, że macierze rozszerzone są skróconym sposobem zapisywania układów równań liniowych. Ustawienie współczynników równania w postaci macierzy powoduje, że nie musimy zapisywać dodatkowo symboli niewiadomych x, y, albo equals , a jednak zachowujemy pełną informację, zawartą w równaniu!

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Która z macierzy reprezentuje ten układ równań?

\begin{aligned} 2x+3y &= 8 \\ 5x+2y &=2 \\\end{aligned}

[Potrzebuję pomocy!]

2) Zapisz następujący układ równań w postaci macierzy rozszerzonej.

\begin{aligned} 7x+4y &= 3 \\ 6x+3y&=5 \\ \end{aligned}

[Potrzebuję pomocy!]

Obejrzyjmy inny przykład

Teraz, gdy rozumiemy już podstawy, zajmijmy się nieco bardziej skomplikowanym przykładem.

Przykład

Zapisz następujący układ równań w postaci macierzy rozszerzonej.

$\begin{aligned} 3x-2y&= 4 \\ x+5z &= -3 \\ -4x-y+3z &= 0 \end{aligned}$

Rozwiązanie

Przepiszmy nasz układ równań w taki sposób, żeby współczynniki były wyraźnie widoczne. Jeśli jedna z niewiadomych nie występuje w danym równaniu, oznacza to że jej współczynnik wynosi 0.

$\begin{aligned} \greenD3x&+(\purpleC{-2})y+\goldD{0}z=\blueD {~~~4} \\ \greenD 1x&+\purpleC{~~~~~~0}y+\goldD{5}z = \blueD{-3} \\ \greenD{-4}x&+(\purpleC{-1})y+\goldD3z =\blueD{~~~0} \end{aligned}$

W ten sposób otrzymujemy następującą macierz rozszerzoną.

I znowu, zauważ że kolumny macierzy rozszerzonej odpowiadają niewiadomym (start color #1fab54, x, end color #1fab54, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, start color #e07d10, z, end color #e07d10), lub start color #11accd, start text, w, y, r, a, z, o, m, space, s, t, a, ł, y, m, end text, end color #11accd. Zauważ także że każdy wiersz zawiera współczynniki jednego równania.

Zanim zapiszesz macierz rozszerzoną na podstawie układu równań, upewnij się że we wszystkich równaniach niewiadome występują w tej samej kolejności i że wszystkie wyrazy stałe zapisane są po prawej stronie równania.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Która z macierzy reprezentuje ten układ równań?

\begin{aligned}3w-2x+y+5z&=10 \\w+2y-4z&=5\end{aligned}

(Choice A)
$\left[\begin{array}{rr}{3} & {-2} &1&~~~5&10 \\ {1} & {0} &2 &-4&5 \end{array}\right]$
(Choice B)
$\left[\begin{array}{rr}{3} & {-2} &1&~~~5&10 \\ {0} & {1} &2 &-4&5 \end{array}\right]$

[Potrzebuję pomocy!]

4) Zapisz następujący układ równań w postaci macierzy rozszerzonej.

$\begin{aligned} -a+b-2c&=12\\ 3a+b&=-8 \end{aligned}$

[Potrzebuję pomocy!]

Zadania sprawdzające

5*) Który układ równań odpowiada tej macierzy rozszerzonej?

\left[\begin{array}{rr}{0} & {-3} &-5 &8 \\ {4} & {1} &~~~1&2 \\ {5} & {2} &-1&0 \end{array}\right]

(Choice A)
$\begin{aligned} -3x-5y&= 8 \\ 4x+y+z &= 2 \\ 5x+2y-z &= 0 \end{aligned}$
(Choice B)
$\begin{aligned} -3y-5z&= 8 \\ 4x+y+z &= 2 \\ 5x+2y-z &= 0 \end{aligned}$

[Potrzebuję pomocy!]

6) Która z macierzy reprezentuje ten układ równań?

\begin{aligned} 3x+2&=12y \\ -8y &= 2x+15 \end{aligned}

(Choice A)
$A=\left[\begin{array}{rr}{3} & {2} &12 \\ {-8} & {2} &15 \end{array}\right]$
(Choice B)
$B=\left[\begin{array}{rr}{3} & {12} &2 \\ {2} & {-8} &15 \end{array}\right]$
(Choice C)
$C=\left[\begin{array}{rr}{3} & {-12} &-2 \\ {-2} & {-8} &15 \end{array}\right]$
(Choice D)
$D=\left[\begin{array}{rr}{3} & {-12} &-2 \\ {-8} & {-2} &15 \end{array}\right]$

[Potrzebuję pomocy!]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.