If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przedstawianie liniowych układów równań za pomocą macierzy

Dowiedz się jak liniowe układy równań można przedstawić przez macierz rozszerzoną
Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
Macierze mogą pomóc nam rozwiązać układy równań liniowych. Ciekawe?Najpierw jednak, musimy się nauczyć, jak przedstawić układ równań w postaci macierzy.

Przedstawianie układu równań za pomocą macierzy

Układ równań liniowych można przedstawić w postaci macierzy rozszerzonej.
W macierzy rozszerzonej każdy wiersz reprezentuje jedno równanie, a każda kolumna reprezentuje zmienną lub stały wyraz.
Można więc powiedzieć, że macierze rozszerzone są skróconym sposobem zapisywania układów równań liniowych. Ustawienie współczynników równania w postaci macierzy powoduje, że nie musimy zapisywać dodatkowo symboli niewiadomych x, y, albo equals , a jednak zachowujemy pełną informację, zawartą w równaniu!

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Która z macierzy reprezentuje ten układ równań?
2x+3y=85x+2y=2\begin{aligned} 2x+3y &= 8 \\ 5x+2y &=2 \\\end{aligned}
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Zapisz następujący układ równań w postaci macierzy rozszerzonej.
7x+4y=36x+3y=5\begin{aligned} 7x+4y &= 3 \\ 6x+3y&=5 \\ \end{aligned}

Obejrzyjmy inny przykład

Teraz, gdy rozumiemy już podstawy, zajmijmy się nieco bardziej skomplikowanym przykładem.

Przykład

Zapisz następujący układ równań w postaci macierzy rozszerzonej.
3x2y=4x+5z=34xy+3z=0\begin{aligned} 3x-2y&= 4 \\ x+5z &= -3 \\ -4x-y+3z &= 0 \end{aligned}

Rozwiązanie

Przepiszmy nasz układ równań w taki sposób, żeby współczynniki były wyraźnie widoczne. Jeśli jedna z niewiadomych nie występuje w danym równaniu, oznacza to że jej współczynnik wynosi 0.
3x+(2)y+0z=   41x+      0y+5z=34x+(1)y+3z=   0\begin{aligned} \greenD3x&+(\purpleC{-2})y+\goldD{0}z=\blueD {~~~4} \\ \greenD 1x&+\purpleC{~~~~~~0}y+\goldD{5}z = \blueD{-3} \\ \greenD{-4}x&+(\purpleC{-1})y+\goldD3z =\blueD{~~~0} \end{aligned}
W ten sposób otrzymujemy następującą macierz rozszerzoną.
I znowu, zauważ że kolumny macierzy rozszerzonej odpowiadają niewiadomym (start color #1fab54, x, end color #1fab54, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, start color #e07d10, z, end color #e07d10), lub start color #11accd, start text, w, y, r, a, z, o, m, space, s, t, a, ł, y, m, end text, end color #11accd. Zauważ także że każdy wiersz zawiera współczynniki jednego równania.
Zanim zapiszesz macierz rozszerzoną na podstawie układu równań, upewnij się że we wszystkich równaniach niewiadome występują w tej samej kolejności i że wszystkie wyrazy stałe zapisane są po prawej stronie równania.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Która z macierzy reprezentuje ten układ równań?
3w2x+y+5z=10w+2y4z=5\begin{aligned}3w-2x+y+5z&=10 \\w+2y-4z&=5\end{aligned}
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Zapisz następujący układ równań w postaci macierzy rozszerzonej.
a+b2c=123a+b=8\begin{aligned} -a+b-2c&=12\\ 3a+b&=-8 \end{aligned}

Zadania sprawdzające

5*) Który układ równań odpowiada tej macierzy rozszerzonej?
[035841   125210]\left[\begin{array}{rr}{0} & {-3} &-5 &8 \\ {4} & {1} &~~~1&2 \\ {5} & {2} &-1&0 \end{array}\right]
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

6) Która z macierzy reprezentuje ten układ równań?
3x+2=12y8y=2x+15\begin{aligned} 3x+2&=12y \\ -8y &= 2x+15 \end{aligned}
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: