Zadanie tekstowe o macierzach: kombinacja liniowa wektorów

W porzednim filmie widzieliśmy jak macierz i jej odwrotność, mogą być użute do rozwiązania układu równań. Zrobiliśmy przypadek 2 na 2. W przyszłości zrobimy 3 na 3. Nie będziemy robić 4 na 4, bo to trwałoby zbyt długo. Ale zobaczycie, że to stosuje się do dowolnej macierzy n na n. I to jest prawdopodobnie zastosowanie macierzy, że uczycie się tego na Algebrze 2, albo na Algebrze 1. I zastanawiacię się często, po co wogóle zajmować się tymi macierzami? Teraz pokażę wam inne zastosowanie macierzy, które właściwie z więszym prawodopodobieństwem, zobaczycie na wykładzie z algebry liniowej na studiach. Ale na prawdę fajną rzeczą jest -- i myślę że to jest najważniejsze, że reprezentacja macierzowa jest po prostu jednym sposobem reprezentowania różnych typów zadań. I co jest na prawdę fajne, to że jeżeli różne problemy mogą być reprezentowane tak samo, to w pewnym sensie mówi nam, że w istocie są tym samy problemem. I to się nazywa izomorfizmem w matematyce. Że jeżeli możecie sprowadzić jeden problem do innego problemu, to cała praca jaką wykonaliście nad jednym, stosuje się do drugiego. W każdym razie, zobaczmy nowe zastosowanie dla macierzy. Narysuję teraz jakieś wektory. Powiedzmy, że mamy wektor -- nazwijmy go a. Napiszę go jako wektor kolumnowy. To wszystko jest konwencja. To są rzeczy wynalezione przez ludzi. Mógłbym go napisać diagonalnie. Ale mogę też napisać tak. Ale jeżeli mam, powiedzmy, wektor 3, minus 6. I to rozumiem jako składową x wektora, a to jest równe składowej y wektora. I mam wektor b. Wektor b jest równy 2, 6. I chcę wiedzieć, czy istnieją kombinacje wektorów a i b gdzie możecie powiedzieć, 5 razy wektor a, dodać 3 razy wektor b, albo 10 razy wektor a odjąc 6 razy wektorb -- jakieś kombinacje wektorów a i b, które dają wektor c. A wektor c ma składowe 7 i 6. Zobaczmy, czy umiem wizualnie narysować ten problem. Narysuję linie współrzędnych. Zobaczmy to. 3, minus 6. To będzie w ćwiartce -- ten jest w pierwszej ćwiartce. Chcę zobaczyć jak długie osie muszę narysować. Zobaczmy -- wezmę inny kolor. To jest moja oś y. Nie rysuję drugiej, ani trzeciej ćwiartki, bo nie wydaje mi się żeby nasze wektory się tam znalazły. A potem oś x. Narysuję teraz wszystkie wektory. Najpierw wektor a. Czyli 3, minus 6. 1, 2, 3, a potem minus 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. No i jest. Czyli jak chcę to narysować jako wektor, zwykle zaczynam w początku układu współrzędnych. Ale nie musi się zaczynać w początku układu współrzędnych Tak po prostu wybrałem. Wektor możecie przesuwać. Tylko musi zachować tę samą orientację i tę samą długość. Czyli to jest wektor zielony. Teraz na purpurowo narysuję wektor b. Czyli 2, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Czyli 2, 6 jest tutaj. I to jest wektor b. Czyli to wygląda tak. To jest wektor b. A teraz pozwolicie, że narysuję wektor tu na dole. To jest wektor a. I chcę wziąć jakąś kombinację wektorów a i b. I dodać je, żeby otrzymać wektor c. A jak wygląda wektor c? To jest 7, 6. Zrobię to na fioletowo. Czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. I 6. Czyli 7, 6 jest tutaj. To jest wektor c. Wektor c wygląda tak. Narysuję go tak. To jest wektor c. Jakie było oryginalne zadanie, które wypowiedziełem? Powiedziałem, że chcę dodać jakąs wielokrotność wektora a do jakiejś wielokrotności wektora b, żeby otrzymać wektor c. I chcę zobaczyć jakie są te wielokrotności. Powiedzmy więc, że współczynnik, prze który mnożę wektor a oznaczam x. A współczynnik przy wektorze b oznaczam y. W zasadzie chcę powiedzieć, że -- zrobię to innym neutralnym kolorem -- że wektor ax -- czyli jaki jest wkład wektora a -- dodać wektor by -- czyli jaki jest wkład wektora b -- jest równe wektorowi c. No wiecie, może nie da się tak. Może nie ma takiej kombinacji wektorów a i b, że kiedy je dodamy to dostaniemy wektor c. Ale sprawdźmy, czy możemy to rozwiązać. Jak to rozwiążemy? Wieć rozpiszmy nasze wektory a i b. Czym jest wektor a? 3, minus 6. Czyli wektor a, możemy zapisać, jako 3, minus 6 razy x. To nam mówi jak dużo wektora a wnosimy. Dodać wektor b, czyli 2, 6. A y mówi jak duży jest wkład wektora b. I to ma być równe 7, 6. Wektorowi c. Teraz, to tutaj, ten problem może być przepisany, po prostu opierając się na tym jak zdefiniowaliśmy mnożenie macierzy itd. jako to. Jako 3 odjąć 6, 2, 6, razy x, y równa się 7, 6. A teraz, jak to działa? Zastanówmy się jak działa mnożenie macierzy. Sposób mnożenia macierzy jakiego się nauczyliśmy, powiedzieliśmy 3 razy x dodać 2 razy y równa się 7. 3 razy x dodać 2 razy y równa się 7. Tak się nauczyliśmy mnożyć macierze. To samo mamy tutaj. 3 razy x dodać 2 razy y równa się 7. Ten x i ten y tutaj, to są po prosu liczby skalarne. Czyli 3 razy x dodać 2 razy y równa się 7. A potem mnożymy tutaj, minus 6 razy x dodać 6 razy y równa się 6. To jest zwykłe mnożenie macierzy, którego się nayczyliśmy kilka filmów temu. To jest to samo tutaj. Minus 6x dodać 6y jest równe 6. Te iksy i igreki, to są po prostu liczby. To są pro prostu skalary. To nie są wektory, czy coś takiego. Pomnożylibyśmy je po prostu prze obie te liczby. A więc mam nadzieję, że zobaczycie, że to zadanie jest dokładnie tym samy, co to zadanie. I może mieliście moment "acha", jeżeli oglądaliście poprzedni film. Ponieważ ta macierz reprezentuje również zadanie, gdzie szukamy przecięcia dwóch prostych. Gdzie dwie proste -- zrobię to na boku tutaj -- przecięcie dwóch prostych, 3x dodać 2y jest równe 7. A minus 6x dodać 6y jest równe 6. Czyli narysowałem dwie linie. I zapytaliśmy co jest punktem przecięcia, itp, itd. I to było reprezentowane prze ten problem. Ale tutaj mamy -- no nie powiem, że zupełnie inny problem, bo uczymy się, że są właściwie bardzo podobne -- ale rozwiązuję tu zadanie... Próbuję znaleźć jaka kombinacja wektorów a i b da w wyniku wektor c. Ale sprowadziłem go do tej samej reprezentacji macierzowej. Czyli możemy rozwiązać to dokładnie tak samo, jak rozwiązaliśmy ten problem. Jeżeli to nazwę macierzą A, obliczmy jej odwrotność. Czyli odwrotność A równa się czemu? Równa się 1 przez wyznacznik z A. Wyznacznik z A jest równy 3 razy 6, czyli 18 odjąć minus 12. Czyli 18 dodać 12, czyli 1/30. I robiliśmy to samo w poprzednim filmie. Zamieniamy te liczby. Czyli otrzymujemy 6 i 3. A potem zmieniamy znak tych dwóch. Czyli mamy 6 i minus 2. To jest odwrotność. A teraz, żeby znaleźć x i y, mnożymy obie strony tego równania przez odwrotność. Kiedy mnożymy odwrotność A razy A, to się skraca. Czyli dostajemy x, y jest równe odwrotność A razy to. A to się równa 1/30 razy 6, minus 2, 6, 3. Razy 7, 6. I pamiętajcie, dla macierzy kolejność ich mnożenia ma znaczenie. Czyli po tej stronie pomnożyliśmy przez odwrotność A z tej strony, czyli po tej stronie też musimy pomnożyć przez odwrotność A z lewej strony. Czyli dlatego zrobiliśmy to tutaj. Gdybyśmy zrobili to odwrotnie, to nic byśmy nie zyskali. Czyli czemu to się równa? To się równa 1/30 razy -- i to zrobiliśmy w poprzednim zadaniu -- 6 razy 7 daje 42 odjąć 12. 30. 6 razy 7, 41. Dodać 18 60. To się równa 1, 2. Co to znaczy? To znaczy, że jeżeli weźmiemy 1 razy wektor a dodać 2 razy wektor b. 1 razy to -- to jest 1 -- i 2 razy wektor b. Czyli 1 razy wektor a dodać w razy wektor b równa się wektor c. I sprawdźmy to wizualnie. Czyli 1 razy wektor a. To jest wektor właśnie tutaj. Czyli jak dodamy 2 wektory b, do tego, powinniśmy dostać wektor c. Zobaczmy, czy możemy to zrobić. Jeżeli po prostu przesuniemy wektor b w ten sposób, zobaczmy, wektor b ma w prawo 2 i 6 do góry. Czyli dwa w prawo i 6 do róry przeniesie nas tu. Czyli 1wektor b -- po prostu dodaję wektory metodą graficzną -- przeniesie nas tutaj. 1, 2, 3. Dobrze. Nie, poczekajcie. 1, 2, 3. A potem wektor b idzie o dwa w prawo dalej dwa dalej. Czyli do góry o 6. To będzie tak. Czyli to jest jeden wektor b. A potem jak dodamy drugi -- a chcemy właśnie mieć 2 razy wektor b. Rzeczywiście potrzebujemy dwóch wektorów b. Mieliśmy więc jeden, a potem dodaliśmy drugi. Myślę, że na rysunku widzicie, że -- nie chciałem tego tak zrobić. Chciałęm użyć narzędzia rysowania linii. Czyli dodajemy drugi wektor b. No i gotowe. To jest wektor b. Czyli to jest dwa razy wektor b. Czyli ma ten sam kierunek jak wektor b, ale jest dwa razy dłuższy. Czyli graficznie to sprawdziliśmy. Rozwiązaliśmy to algebraicznie. Ale najważniejsze jest i to jest główne odkrycie tego filmu, żeby podazać wam, że reprezentacja macierzowa może reprezentować różne problemy. To był problem znajdowania kombinacji wektorów. Poprzedni był znajdowaniem przecięcia dwóch prostych. Ale wnioskujemy z tego, że te dwa problemy są jakoś głęboko ze sobą połączone. Czyli jeżeli zdejmiemy pozory rzeczywistości, to pod spodem one są tym samym. I szczerze mówiąc, dlatego matematyka jest taka interesująca. Ponieważ jak uświadomicie sobie, że dwa problemy są w istocie tym samym, to odpadają nam sztuczne powierzchowne pozorne różnice. Ponieważ nasze mózgi są zaprogramowane, do postrzegania świtata w pewien sposób. Ale to nam mówi, że jest jakaś fundamentalna prawda, niezależna od naszego postrzegania, która wiąże wszystkie te różne koncepcje razem. W każdym razie, nie chcę się zagłębiać w mistykę. Ale jeżeli widzicie mistycyzm w matematyce, to dobrze. Mam nadzieję, że było to interesujące. I właściwie wiem, że przekraczam czas, ale myślę -- Dużo ludzi wybiera algebrę liniową, uczą się wszystkich rzeczy i mówią, cóż, jaki jest cel tego wszystkiego? Ale to jest coś interesującego nad czym można się zastanawiać. Mieliśmy ten wektor a i mieliśmy ten wektor b. I mogliśmy powiedzieć, że istnieje pewna kombinacja tych wektorów a i b, która daje wektor c. Czyli ciekawym pytaniem jest, jakie są wszystkie wektory, które moge otrzymać jako kombinację wektorów a i b. Dodając albo odejmując. Albo możecie powiedzieć, mógłbym pomnożyć je przez liczby ujemne. W każdym razie. Jakie są wszystkie wektory, któe mogę otrzymać, biorąc kombinacje liniowe wektorów a i b? A to właśnie nazywa się przestrzenią wektorową rozpiętą przez wektory a i b. I zajmiemy się tym więcej na algebrze liniowej. A tutaj mamy do czynienia z dwuwymiarową przestrzenią Euklidesa. Moblibyśmy mieć trójwymiarowe wektory. Moglimyśmy mieć n wymiarowe wektory. Czyli to się robi na prawdę, na prawdę abstrakcyjne. Ale myślę, że to jest dobre piewsze spotkanie z algebrą liniową. Mam nadzieję, że nie czujecie się zdezorientowani ani przytłoczeni. Do zobaczenia w następnym filmie.