If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 11: Rozkład jednomianów
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Rozkład jednomianów
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozkład jednomianów

Google Classroom
Dowiedz się jak rozkładać na czynniki jednomiany i rozkładać brakujący czynnik w rozkładzie jednomianu na czynniki

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej oraz nieujemnej potęgi x, np. 3, x, squared. Wielomian jest sumą jednomianów, np. 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Jeśli A, equals, B, dot, C, to B i C są czynnikami A, a A jest podzielne przez B i C. Aby przypomnieć sobie ten temat przeczytaj nasz artykuł Czynniki, dzielniki i podzielność.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się jak rozłożyć jednomiany na czynniki pierwsze. W tym celu pomoże Ci to co już wiesz na temat rozkładu liczb całkowitych na czynniki.

Wstęp: co to jest rozkład jednomianu na czynniki?

Aby rozłożyć jednomian na czynniki, należy wyrazić go jako iloczyn dwóch lub więcej jednomianów.
Na przykład, poniżej przedstawiono kilka możliwych rozkładów jednomianu 8, x, start superscript, 5, end superscript.
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, right parenthesis
Zauważ, że jeśli wymnożysz wszystkie wyrażenia po prawej stronie równania, otrzymasz 8, x, start superscript, 5, end superscript.

Pytanie do zastanowienia

Andrzej, Adam and Alek byli poproszeni o rozłożenie wyrażenia 20, x, start superscript, 6, end superscript na iloczyn dwóch jednomianów. Oto ich odpowiedzi.
AndrzejAdamAlek
20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 10, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, cubed, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 20, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis
1) Który z uczniów poprawnie rozłożył 20, x, start superscript, 6, end superscript na czynniki?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Rozkład jednomianu na czynniki pierwsze

Powtórzenie: rozkład liczb na czynniki pierwsze

Aby do końca rozłożyć liczbę na czynniki, musimy ją zapisać jako iloczyn czynników pierwszych.
Na przykład, wiemy, że 30, equals, 2, dot, 3, dot, 5.

A teraz do jednomianów...

Aby całkowicie rozłożyć na czynniki jednomian, rozkładamy współczynnik na czynniki pierwsze oraz rozwijamy część zależną od zmiennych.
Na przykład, aby całkowicie rozłożyć na czynniki 10, x, cubed, zapisujemy 10 w formie rozkładu na czynniki pierwsze, jako 2, dot, 5 i zapisujemy x, cubed jako x, dot, x, dot, x. Tak więc, rozkład 10, x, cubed na czynniki pierwsze wygląda następująco:
10, x, cubed, equals, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, dot, x

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Które z poniższych wyrażeń opisuje kompletny rozkład jednomianu 6, x, squared na czynniki pierwsze?
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Które z poniższych wyrażeń opisuje kompletny rozkład jednomianu 14, x, start superscript, 4, end superscript na czynniki pierwsze?
Wybierz 1 odpowiedź:

Brakujące czynniki w rozkładzie jednomianów

Powtórzenie: rozkład liczb na czynniki pierwsze

Załóżmy, że wiemy, że 56, equals, 8, b dla pewnej liczby całkowitej b. Jak możemy wyznaczyć brakujący czynnik, czyli b?
No cóż, po prostu rozwiązujemy równanie 56, equals, 8, b ze względu na b, dzieląc obie strony przez 8. Brakujący czynnik, b, wynosi 7.

A teraz do jednomianów...

Ten samo pomysł można wykorzystać w przypadku jednomianów. Na przykład, załóżmy że 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, C, right parenthesis dla pewnego jednomianu C. Możemy obliczyć C dzieląc 8, x, start superscript, 5, end superscript przez 4, x, cubed:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3Podziel obie strony przez 4x32x2=CUprosˊcˊ, wykorzystując własnosˊci funkcji potęgowych\begin{aligned}8x^5&=(4x^3)(C)\\ \\ \dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{(4x^3)(C)}{4x^3}&&\small{\gray{\text{Podziel obie strony przez }4x^3}}\\ \\\\\\ 2x^2&=C&&\small{\gray{\text{Uprość, wykorzystując własności funkcji potęgowych}}} \end{aligned}
Możemy sprawdzić obliczenia pokazując, że iloczyn 4, x, cubed aoraz 2, x, squared równa się rzeczywiście 8, x, start superscript, 5, end superscript.
(4x3)(2x2)=4⋅2⋅x3⋅x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\cdot \purpleC{2}\cdot \tealD {x^3}\cdot \tealD{x^2}\\ \\ &=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Czemu równa się B w poniższym równaniu?
28, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, B, right parenthesis, left parenthesis, 7, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Czemu równa się C w poniższym równaniu?
40, x, start superscript, 9, end superscript, equals, left parenthesis, C, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
C, equals

Różne rozkłady na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się liczbie 12. Możemy przedstawić tę liczbę w postaci czterech różnych rozkładów na czynniki.
  • 12, equals, 2, dot, 6
  • 12, equals, 3, dot, 4
  • 12, equals, 12, dot, 1
  • 12, equals, 2, dot, 2, dot, 3
Tylko jeden z tych rozkładów jest rozkładem 12 na czynniki pierwsze, a mianowicie 2, dot, 2, dot, 3.
To samo dotyczy jednomianów. Możemy rozłożyć 18, x, cubed na kilka sposobów, na przykład:
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 9, dot, x, cubed
  • 18, x, cubed, equals, 3, dot, 6, dot, x, dot, x, squared
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, cubed
Ale tylko jeden z tych rozkładów jest rozkładem zupełnym, to znaczy takim, że żadnego z czynników nie można już dalej rozłożyć na liczby całkowite bądź jednomiany!
18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, dot, x, dot, x

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Jak wygląda całkowity rozkład na czynniki 22, x, y, squared?
22, x, y, squared, equals

7*) Pole powierzchni poniższego prostokąta wynosi 24, x, cubed metry kwadratowe. Długość prostokąta wynosi 4, x, squared metry.
Ile wynosi szerokość prostokąta?
start text, S, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, equals
metrów

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.