If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 11: Rozkład jednomianów
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Rozkład jednomianów
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Największy wspólny dzielnik jednomianów

Google Classroom
Naucz się jak znaleźć NWD (największy wspólny dzielnik, największy wspólny czynnik) dwóch lub więcej jednomianów.

Co powinieneś wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej oraz nieujemnej potęgi x, np. 3, x, squared. Wielomian jest sumą jednomianów.
Kompletny rozkład jednomianu na czynniki polega na rozłożeniu współczynnika na czynniki pierwsze i rozłożeniu na czynniki części, zależnej od zmiennych w taki sposób, aby dalszy rozkład nie był już możliwy. Zapoznaj się z artykułem rozkład jednomianów na czynniki aby upewnić się, że dobrze rozumiesz w czym rzecz.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji wprowadzimy pojęcie największego wspólnego czynnika (lub dzielnika - chodzi o to samo) i dowiemy się jak wyznaczyć go w przypadku jednomianów.

Powtórzenie: największy wspólny czynnik, albo dzielnik, w przypadku liczb całkowitych

Dla dwóch liczb całkowitych, największy wspólny dzielnik to największa liczba całkowita, która jest dzielnikiem obu tych liczb. Na przykład, dla 12 i 18 największy wspólny dzielnik wynosi 6.
Chcąc wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, rozkładamy je na czynniki pierwsze:
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, 3
Zauważ, że dla 12 i 18 czynniki pierwsze start color #11accd, 2, end color #11accd oraz start color #e07d10, 3, end color #e07d10 są wspólne, a stąd wynika że największy wspólny dzielnik (czynnik) 12 i 18 wynosi start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Największy wspólny dzielnik dla jednomianów

Proces wygląda podobnie, gdy trzeba znaleźć największy wspólny dzielnik dla dwóch lub więcej jednomianów.
Wystarczy rozłożyć każdy z jednomianów na czynniki pierwsze i znaleźć czynniki wspólne. Iloczyn wszystkich czynników wspólnych dla danych jednomianów jest ich największym wspólnym dzielnikiem.
Znajdźmy na przykład największy wspólny dzielnik dla 10, x, cubed i 4, x:
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 5, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x, dot, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 2, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Zauważ, że dla 10, x, cubed i 4, x czynniki pierwsze start color #11accd, 2, end color #11accd i start color #e07d10, x, end color #e07d10 są wspólne. Dlatego ich największy wspólny dzielnik wynosi start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10 czyli 2, x.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla 9, x, squared i 6, x?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla 12, x, start superscript, 5, end superscript i 8, x, cubed?

3) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript i 10, x, cubed?

Uwaga odnośnie zmiennych w NWD

Z reguły część zmienna NWD dla dowolnych dwóch lub więcej jednomianów jest równa części zmiennej jednomianu z najniższą potęgą x.
Weźmy na przykład jednomiany start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 i start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • Ponieważ najniższą potęgą x jest start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, jest to część zmienna tego NWD.
  • Następnie znajdź NWD dla start color #11accd, 6, end color #11accd i start color #11accd, 4, end color #11accd, który wynosi start color #11accd, 2, end color #11accd, i pomnóż go przez start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, co daje start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, czyli NWD obu jednomianów!
NWD 6 i 4wynosi 2Najniz˙szą potęgą x5 i x2 jest x2↘↙NWD(6x5,4x2)=2x2\begin{aligned} \text{NWD }\blueD 6\text{ i }\blueD 4\text{wynosi }\blueD 2\qquad&\quad\text{Najniższą potęgą }\goldD{x^5}\text{ i }\goldD{x^2}\text{ jest }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{NWD}(\blueD 6\goldD{x^5},\blueD 4\goldD{x^2})=\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}
Jest to szczególnie przydatne, gdy trzeba znaleźć NWD jednomianów zawierających bardzo wysokie potęgi x. Niezwykle męczące byłoby na przykład rozłożenie na czynniki pierwsze jednomianów takich jak 32, x, start superscript, 100, end superscript, czy 16, x, start superscript, 88, end superscript!

Zadania sprawdzające

4) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla 20, x, start superscript, 76, end superscript i 8, x, start superscript, 92, end superscript?

5*) Jaki jest największy wspólny dzielnik 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared i 32, x, squared, y, cubed?

Co dalej?

Żeby zobaczyć w jaki sposób możemy użyć tych umiejętności do rozkładania wielomianów na czynniki, zobacz nasz artykuł wyłączanie przed nawias największego wspólnego czynnika!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.