If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 14: Wprowadzenie do rozkładania wyrażeń kwadratowych na czynniki
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Wprowadzenie do rozkładania wyrażeń kwadratowych na czynniki
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozkład wyrażeń kwadratowych: współczynnik wiodący =1

Google Classroom
Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów. Jest to odwrotność mnożenia wielomianów. Aby dowiedzieć się więcej, zajrzyj do wcześniejszego artykułu o wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji dowiesz się jak przedstawić wielomian o formie x, squared, plus, b, x, plus, c jako iloczyn dwóch dwumianów.

Powtórzenie: Mnożenie dwumianów

Weźmy na przykład wyrażenie left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Iloczyn obliczamy wielokrotnie stosując zasadę rozdzielności działań.
Stąd wiemy, że left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
Widzimy więc, że x, plus, 2 i x, plus, 4 są czynnikami x, squared, plus, 6, x, plus, 8, ale jak można znaleźć te czynniki, jeśli nie są nam podane na początku?

Rozkład trójmianów

Możemy odwrócić przedstawiony powyżej proces mnożenia dwumianów, aby rozłożyć trójmian (czyli wielomian o 3 argumentach) na czynniki pierwsze.
Inaczej mówiąc, jeśli mamy tylko wielomian x, squared, plus, 6, x, plus, 8, możemy użyć rozkładu na czynniki pierwsze, aby zapisać wielomian jako iloczyn dwóch dwumianów, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Spójrzmy na kilka przykładów, aby zobaczyć jak się to robi.

Przykład 1: Rozkład x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Aby rozłożyć x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff na czynniki, musimy najpierw znaleźć dwie liczby, których iloczyn daje start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (część stała) i przedstawić je za pomocą sumy dającej start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (współczynnik x).
Te dwie liczby to start color #11accd, 2, end color #11accd i start color #1fab54, 3, end color #1fab54, ponieważ start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 oraz start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Następnie dodajemy te liczby do x, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis i left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Podsumowując, rozłożyliśmy nasz trójmian w ten sposób:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Aby sprawdzić nasz rozkład, możemy pomnożyć te dwa dwumiany:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Iloczyn x, plus, 2 oraz x, plus, 3 to rzeczywiście x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Nasz rozkład jest prawidłowy!

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Zobaczmy jeszcze kilka przykładów i sprawdźmy, czego możemy się z nich nauczyć.

Przykład 2: Rozkład x, squared, minus, 5, x, plus, 6

Aby rozłożyć x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff i których suma daje start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Te dwie liczby to start color #11accd, minus, 2, end color #11accd i start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, ponieważ left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 oraz left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Następnie dodajemy te liczby do x, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis i left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Rozkład na czynniki podano poniżej:
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Schemat rozkładu: Zauważ, że liczby potrzebne do znalezienia rozkładu x, squared, minus, 5, x, plus, 6 są ujemne left parenthesis, minus, 2 i minus, 3, right parenthesis. Jest tak ponieważ ich iloczyn musi być dodatni left parenthesis, 6, right parenthesis a suma ujemna left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci x, squared, plus, b, x, plus, c, jeśli c jest dodatnie a b jest ujemne, to oba czynniki będą ujemne!

Przykład 3: Rozkład x, squared, minus, x, minus, 6

Możemy zapisać x, squared, minus, x, minus, 6 jako x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Aby rozłożyć x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff i których suma daje start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Te dwie liczby to start color #11accd, 2, end color #11accd i start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, ponieważ left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 oraz start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
Następnie dodajemy te liczby do x, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis i left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Rozkład na czynniki podano poniżej:
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Schemat rozkładu: Zauważ, że żeby rozłożyć x, squared, minus, x, minus, 6, potrzebujemy jednej liczby dodatniej left parenthesis, 2, right parenthesis i jednej liczby ujemnej left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Jest tak, ponieważ ich iloczyn musi być ujemny left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci x, squared, plus, b, x, plus, c, jeśli c jest ujemne, to jeden z czynników będzie liczbą dodatnią, a drugi ujemną.

Podsumowanie

Ogólnie, żeby znaleźć rozkład na czynniki trójmianu w postaci x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, musimy znaleźć czynniki start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, które sumują się do start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Zauważ, że te dwie liczby to m i n, więc c, equals, m, n i b, equals, m, plus, n, dlatego x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozłóż na czynniki x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Rozłóż na czynniki x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Rozłóż x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

Dlaczego to działa?

Żeby zrozumieć dlaczego ta metoda rozkładu na czynniki działa, wróćmy do pierwszego przykładu, w którym rozkładaliśmy x, squared, plus, 5, x, plus, 6 do postaci left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Jeśli się cofniemy i pomnożymy dwa dwumianowe czynniki, to zobaczymy jaki wpływ mają start color #11accd, 2, end color #11accd i start color #1fab54, 3, end color #1fab54 na stworzenie iloczynu x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Widzimy, że współczynnik przy x jest sumą liczby start color #11accd, 2, end color #11accd i liczby start color #1fab54, 3, end color #1fab54, a wyraz stały jest iloczynem liczby start color #11accd, 2, end color #11accd i liczby start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

Schemat z sumą i iloczynem

Powtórzmy to, co już zrobiliśmy z left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, dla left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Podsumowując ten proces, otrzymujemy następujące równanie:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Jest to jeden z wzorów skróconego mnożenia.
Pokazuje on dlaczego przedstawiliśmy trójmian x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff jako x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (znajdując dwie liczby start color #11accd, m, end color #11accd oraz start color #1fab54, n, end color #1fab54 takie, aby start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 i start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), możemy rozłożyć ten trójmian do czynników left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Pytanie do zastanowienia

6) Czy ta metoda może zostać użyta do znalezienia rozkładu 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?
Wybierz 1 odpowiedź:

Kiedy możemy użyć tej metody do znalezienia rozkładu?

Ogólnie rzecz biorąc, możemy zastosować wzór na iloczyn sum tylko gdy możemy zapisać trójmian w postaci left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis dla m i n będących liczbami całkowitymi.
Oznacza to, że pierwszy wyraz trójmianu musi mieć postać x, squared (a nie na przykład 2, x, squared), aby można było chociaż uwzględnić tę metodę. Jest tak ponieważ iloczyn left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis i left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis zawsze będzie wielomianem, którego pierwszy wyraz ma postać x, squared.
Jednak nie wszystkie trójmiany, których pierwszym wyrazem jest x, squared mogą być w ten sposób rozłożone. Na przykład x, squared, plus, 2, x, plus, 2 nie może być rozłożony, ponieważ nie ma dwóch liczb całkowitych, których suma wynosiłaby 2, a iloczyn 2.
W następnych lekcjach poznamy więcej sposobów rozkładu na czynniki dla innych typów wielomianów.

Ćwiczenia sprawdzające

7*) Rozłóż x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Rozłóż x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.