Główna zawartość
Algebra (cały materiał)
Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10
Lekcja 14: Wprowadzenie do rozkładania wyrażeń kwadratowych na czynniki- Rozkładanie trójmianu kwadratowego na czynniki
- Rozkład wyrażeń kwadratowych: współczynnik wiodący =1
- Rozkład funkcji kwadratowych na czynniki (x+a)(x+b)
- Więcej przykładów rozkładania wyrażeń kwadratowych do postaci (x+a)(x+b)
- Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: rozgrzewka
- Wprowadzenie do rozkładania wyrażeń kwadratowych na czynniki
- Prosty rozkład na czynniki równań kwadratowych, przypomnienie
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Rozkład wyrażeń kwadratowych: współczynnik wiodący =1
Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, x²+5x+6=(x+2)(x+3).
Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji
Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów. Jest to odwrotność mnożenia wielomianów. Aby dowiedzieć się więcej, zajrzyj do wcześniejszego artykułu o wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias.
Czego nauczysz się w tej lekcji
W tej lekcji dowiesz się jak przedstawić wielomian o formie jako iloczyn dwóch dwumianów.
Powtórzenie: Mnożenie dwumianów
Weźmy na przykład wyrażenie .
Iloczyn obliczamy wielokrotnie stosując zasadę rozdzielności działań.
Stąd wiemy, że .
Widzimy więc, że i są czynnikami , ale jak można znaleźć te czynniki, jeśli nie są nam podane na początku?
Rozkład trójmianów
Możemy odwrócić przedstawiony powyżej proces mnożenia dwumianów, aby rozłożyć trójmian (czyli wielomian o argumentach) na czynniki pierwsze.
Inaczej mówiąc, jeśli mamy tylko wielomian , możemy użyć rozkładu na czynniki pierwsze, aby zapisać wielomian jako iloczyn dwóch dwumianów, .
Spójrzmy na kilka przykładów, aby zobaczyć jak się to robi.
Przykład 1: Rozkład
Aby rozłożyć na czynniki, musimy najpierw znaleźć dwie liczby, których iloczyn daje (część stała) i przedstawić je za pomocą sumy dającej (współczynnik ).
Te dwie liczby to i , ponieważ oraz .
Następnie dodajemy te liczby do , tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: i .
Podsumowując, rozłożyliśmy nasz trójmian w ten sposób:
Aby sprawdzić nasz rozkład, możemy pomnożyć te dwa dwumiany:
Iloczyn oraz to rzeczywiście . Nasz rozkład jest prawidłowy!
Sprawdź, czy rozumiesz
Zobaczmy jeszcze kilka przykładów i sprawdźmy, czego możemy się z nich nauczyć.
Przykład 2: Rozkład
Aby rozłożyć na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje i których suma daje .
Te dwie liczby to i , ponieważ oraz .
Następnie dodajemy te liczby do , tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: i .
Rozkład na czynniki podano poniżej:
Schemat rozkładu: Zauważ, że liczby potrzebne do znalezienia rozkładu są ujemne i . Jest tak ponieważ ich iloczyn musi być dodatni a suma ujemna .
Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci , jeśli jest dodatnie a jest ujemne, to oba czynniki będą ujemne!
Przykład 3: Rozkład
Możemy zapisać jako .
Aby rozłożyć na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje i których suma daje .
Te dwie liczby to i , ponieważ oraz .
Następnie dodajemy te liczby do , tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: i .
Rozkład na czynniki podano poniżej:
Schemat rozkładu: Zauważ, że żeby rozłożyć , potrzebujemy jednej liczby dodatniej i jednej liczby ujemnej . Jest tak, ponieważ ich iloczyn musi być ujemny .
Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci , jeśli jest ujemne, to jeden z czynników będzie liczbą dodatnią, a drugi ujemną.
Podsumowanie
Ogólnie, żeby znaleźć rozkład na czynniki trójmianu w postaci , musimy znaleźć czynniki , które sumują się do .
Zauważ, że te dwie liczby to i , więc i , dlatego .
Sprawdź, czy rozumiesz
Dlaczego to działa?
Żeby zrozumieć dlaczego ta metoda rozkładu na czynniki działa, wróćmy do pierwszego przykładu, w którym rozkładaliśmy do postaci .
Jeśli się cofniemy i pomnożymy dwa dwumianowe czynniki, to zobaczymy jaki wpływ mają i na stworzenie iloczynu .
Widzimy, że współczynnik przy jest sumą liczby i liczby , a wyraz stały jest iloczynem liczby i liczby .
Schemat z sumą i iloczynem
Powtórzmy to, co już zrobiliśmy z , dla :
Podsumowując ten proces, otrzymujemy następujące równanie:
Jest to jeden z wzorów skróconego mnożenia.
Pokazuje on dlaczego przedstawiliśmy trójmian jako (znajdując dwie liczby oraz takie, aby i ), możemy rozłożyć ten trójmian do czynników .
Pytanie do zastanowienia
Kiedy możemy użyć tej metody do znalezienia rozkładu?
Ogólnie rzecz biorąc, możemy zastosować wzór na iloczyn sum tylko gdy możemy zapisać trójmian w postaci dla i będących liczbami całkowitymi.
Oznacza to, że pierwszy wyraz trójmianu musi mieć postać (a nie na przykład ), aby można było chociaż uwzględnić tę metodę. Jest tak ponieważ iloczyn i zawsze będzie wielomianem, którego pierwszy wyraz ma postać .
Jednak nie wszystkie trójmiany, których pierwszym wyrazem jest mogą być w ten sposób rozłożone. Na przykład nie może być rozłożony, ponieważ nie ma dwóch liczb całkowitych, których suma wynosiłaby , a iloczyn .
W następnych lekcjach poznamy więcej sposobów rozkładu na czynniki dla innych typów wielomianów.
Ćwiczenia sprawdzające
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji