Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 14: Wprowadzenie do rozkładania wyrażeń kwadratowych na czynniki

Rozkład wyrażeń kwadratowych: współczynnik wiodący =1

Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów. Jest to odwrotność mnożenia wielomianów. Aby dowiedzieć się więcej, zajrzyj do wcześniejszego artykułu o wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji dowiesz się jak przedstawić wielomian o formie

x^{2} + b x + c

jako iloczyn dwóch dwumianów.

Powtórzenie: Mnożenie dwumianów

Weźmy na przykład wyrażenie

(x + 2) (x + 4)

Iloczyn obliczamy wielokrotnie stosując zasadę rozdzielności działań.

[Tutaj jeszcze jedno wytłumaczenie mnożenia dwóch dwumianów.]

Stąd wiemy, że

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

Widzimy więc, że

x + 2

x + 4

są czynnikami

x^{2} + 6 x + 8

, ale jak można znaleźć te czynniki, jeśli nie są nam podane na początku?

Rozkład trójmianów

Możemy odwrócić przedstawiony powyżej proces mnożenia dwumianów, aby rozłożyć trójmian (czyli wielomian o

3

argumentach) na czynniki pierwsze.

Inaczej mówiąc, jeśli mamy tylko wielomian

x^{2} + 6 x + 8

, możemy użyć rozkładu na czynniki pierwsze, aby zapisać wielomian jako iloczyn dwóch dwumianów,

(x + 2) (x + 4)

Spójrzmy na kilka przykładów, aby zobaczyć jak się to robi.

Przykład 1: Rozkład $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Aby rozłożyć

x^{2} + 5 x + 6

na czynniki, musimy najpierw znaleźć dwie liczby, których iloczyn daje

6

(część stała) i przedstawić je za pomocą sumy dającej

5

(współczynnik

x

Te dwie liczby to

2

3

, ponieważ

2 \cdot 3 = 6

oraz

2 + 3 = 5

[Jak możemy znaleźć te liczby?]

Następnie dodajemy te liczby do

x

, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów:

(x + 2)

(x + 3)

Podsumowując, rozłożyliśmy nasz trójmian w ten sposób:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Aby sprawdzić nasz rozkład, możemy pomnożyć te dwa dwumiany:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

Iloczyn

x + 2

oraz

x + 3

to rzeczywiście

x^{2} + 5 x + 6

. Nasz rozkład jest prawidłowy!

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

2) Rozłóż na czynniki $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Zobaczmy jeszcze kilka przykładów i sprawdźmy, czego możemy się z nich nauczyć.

Przykład 2: Rozkład $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Aby rozłożyć

x^{2} - 5 x + 6

na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje

6

i których suma daje

- 5

Te dwie liczby to

- 2

- 3

, ponieważ

(- 2) \cdot (- 3) = 6

oraz

(- 2) + (- 3) = - 5

[Jak możemy znaleźć te liczby?]

Następnie dodajemy te liczby do

x

, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

Rozkład na czynniki podano poniżej:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Chcę zobaczyć sprawdzenie!]

Schemat rozkładu: Zauważ, że liczby potrzebne do znalezienia rozkładu

x^{2} - 5 x + 6

są ujemne

(- 2

- 3)

. Jest tak ponieważ ich iloczyn musi być dodatni

(6)

a suma ujemna

(- 5)

Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci

x^{2} + b x + c

, jeśli

c

jest dodatnie a

b

jest ujemne, to oba czynniki będą ujemne!

Przykład 3: Rozkład $x^{2} - x - 6$ ‍

Możemy zapisać

x^{2} - x - 6

jako

x^{2} - 1 x - 6

Aby rozłożyć

x^{2} - 1 x - 6

na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje

- 6

i których suma daje

- 1

Te dwie liczby to

2

- 3

, ponieważ

(2) \cdot (- 3) = - 6

oraz

2 + (- 3) = - 1

[Jak możemy znaleźć te liczby?]

Następnie dodajemy te liczby do

x

, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów:

(x + 2)

(x + (- 3))

Rozkład na czynniki podano poniżej:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Chcę zobaczyć sprawdzenie!]

Schemat rozkładu: Zauważ, że żeby rozłożyć

x^{2} - x - 6

, potrzebujemy jednej liczby dodatniej

(2)

i jednej liczby ujemnej

(- 3)

. Jest tak, ponieważ ich iloczyn musi być ujemny

(- 6)

Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci

x^{2} + b x + c

, jeśli

c

jest ujemne, to jeden z czynników będzie liczbą dodatnią, a drugi ujemną.

Podsumowanie

Ogólnie, żeby znaleźć rozkład na czynniki trójmianu w postaci

x^{2} + b x + c

, musimy znaleźć czynniki

c

, które sumują się do

b

Zauważ, że te dwie liczby to

m

n

, więc

c = m n

b = m + n

, dlatego

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozłóż na czynniki $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

4) Rozłóż na czynniki $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

5) Rozłóż $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Dlaczego to działa?

Żeby zrozumieć dlaczego ta metoda rozkładu na czynniki działa, wróćmy do pierwszego przykładu, w którym rozkładaliśmy

x^{2} + 5 x + 6

do postaci

(x + 2) (x + 3)

Jeśli się cofniemy i pomnożymy dwa dwumianowe czynniki, to zobaczymy jaki wpływ mają

2

3

na stworzenie iloczynu

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Widzimy, że współczynnik przy

x

jest sumą liczby

2

i liczby

3

, a wyraz stały jest iloczynem liczby

2

i liczby

3

Schemat z sumą i iloczynem

Powtórzmy to, co już zrobiliśmy z

(x + 2) (x + 3)

, dla

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

Podsumowując ten proces, otrzymujemy następujące równanie:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Jest to jeden z wzorów skróconego mnożenia.

Pokazuje on dlaczego przedstawiliśmy trójmian

x^{2} + b x + c

jako

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(znajdując dwie liczby

m

oraz

n

takie, aby

b = m + n

c = m \cdot n

), możemy rozłożyć ten trójmian do czynników

(x + m) (x + n)

Pytanie do zastanowienia

6) Czy ta metoda może zostać użyta do znalezienia rozkładu $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Kiedy możemy użyć tej metody do znalezienia rozkładu?

Ogólnie rzecz biorąc, możemy zastosować wzór na iloczyn sum tylko gdy możemy zapisać trójmian w postaci

(x + m) (x + n)

dla

m

n

będących liczbami całkowitymi.

Oznacza to, że pierwszy wyraz trójmianu musi mieć postać

x^{2}

(a nie na przykład

2 x^{2}

), aby można było chociaż uwzględnić tę metodę. Jest tak ponieważ iloczyn

(x + m)

(x + n)

zawsze będzie wielomianem, którego pierwszy wyraz ma postać

x^{2}

Jednak nie wszystkie trójmiany, których pierwszym wyrazem jest

x^{2}

mogą być w ten sposób rozłożone. Na przykład

x^{2} + 2 x + 2

nie może być rozłożony, ponieważ nie ma dwóch liczb całkowitych, których suma wynosiłaby

2

, a iloczyn

2

W następnych lekcjach poznamy więcej sposobów rozkładu na czynniki dla innych typów wielomianów.

Ćwiczenia sprawdzające

7*) Rozłóż $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

8*) Rozłóż $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Powtórzenie: Mnożenie dwumianów

Rozkład trójmianów

Przykład 1: Rozkład x2+5x+6‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: Rozkład x2−5x+6‍

Przykład 3: Rozkład x2−x−6‍

Podsumowanie

Sprawdź, czy rozumiesz

Dlaczego to działa?

Schemat z sumą i iloczynem

Pytanie do zastanowienia

Kiedy możemy użyć tej metody do znalezienia rozkładu?

Ćwiczenia sprawdzające

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Rozkład $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Przykład 2: Rozkład $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Przykład 3: Rozkład $x^{2} - x - 6$ ‍