If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 15: Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozkład na czynniki przez grupowanie

Google Classroom
Poznaj metodę rozkładu na czynniki nazywaną "grupowaniem." Grupowania możemy użyć na przykład do zapisania 2x²+8x+3x+12 w postaci (2x+3)(x+4).

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.
Mieliśmy już do czynienia z przykładami rozkładu wielomianów na czynniki. Przed przeczytaniem tego artykułu zapoznaj się koniecznie z rozkładem na czynniki za pomocą rozdzielności mnożenia. Na przykład, 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis .

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule poznamy metodę rozkładu na czynniki pierwsze poprzez grupowanie .

Przykład 1: Rozłóż na czynniki 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

Na początek, zauważmy że 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12 nie ma wspólnego czynnika. Jeśli jednak pogrupujemy dwa pierwsze wyrazy i dwa ostatnie wyrazy, to każda z tych grup ma największy wspólny czynnik:
Największy wspólny czynnik w pierwszej grupie wyrazów wynosi 2, x, a w drugiej grupie wyrazów największy wspólny czynnik wynosi 3. Wyciągając te czynniki przed nawias, otrzymamy wyrażenie:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
W ten sposób zauważamy jeszcze jeden wspólny czynnik w obu grupach wyrazów: start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10. Wykorzystajmy teraz rozdzielność mnożenia względem dodawania aby wyciągnąć ten wspólny czynnik przed nawias.
Rozłożyliśmy nasz wielomian na czynniki, zapisując go w formie iloczynu dwóch dwumianów. Możemy zawsze sprawdzić poprawność naszego wyniku, mnożąc wyrażenia w nawiasach i porównując rezultat z wyjściowym wielomianem.

Przykład 2: Rozłóż na czynniki 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Przypomnijmy sobie, co zrobiliśmy rozkładając powyżej wielomian na czynniki.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Pogrupuj odpowiednio wyrazy=3x(x+2)+4(x+2)Wyciągnij przed nawias największy wspoˊlny czynnik=3x(x+2)+4(x+2)Mamy wspoˊlny czynnik!=(x+2)(3x+4)Wyciągnij wspoˊlny czynnik x+2 przed nawias\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Pogrupuj odpowiednio wyrazy}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Wyciągnij przed nawias największy wspólny czynnik}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Mamy wspólny czynnik!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Wyciągnij wspólny czynnik x+2 przed nawias} }} \end{aligned}
Rozkład tego wielomianu na czynniki ma postać left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) Rozłóż na czynniki 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

Przykład 3: Rozłóż na czynniki 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

Metoda grupowania działa także, jeśli niektóre współczynniki wielomianu są ujemne, ale w takim przypadku musimy postępować ostrożniej.
Dla przykładu, rozłóżmy na czynniki wielomian 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Pogrupuj odpowiednio wyrazy(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Wyciągnik przed nawias największy wspoˊlny czynnik(3)=3x(x−2)−4(x−2)Uprosˊcˊ(4)=3x(x−2)−4(x−2)Mamy wspoˊlny czynnik!(5)=(x−2)(3x−4)Wyciągnij wspoˊlny czynnik x−2 przed nawias\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Pogrupuj odpowiednio wyrazy}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Wyciągnik przed nawias największy wspólny czynnik}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Mamy wspólny czynnik!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Wyciągnij wspólny czynnik $x-2$ przed nawias}}}\\\\ \end{aligned}
Rozkład tego wielomianu na czynniki ma postać left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Możemy szybko pomnożyć dwumiany w nawiasach przez siebie, aby przekonać się, czy otrzymaliśmy prawidłowy wynik.
Pewne kroki w powyższym rachunku mogły wzbudzić Twoje wątpliwości, a zatem postawmy kilka pytań i odpowiedzmy na nie.
Skąd wziął się znak "+" pomiędzy dwiema grupami wyrazów?
W start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd kroku, znak "+" pojawił się pomiędzy grupami left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis oraz left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Dopisaliśmy go, ponieważ trzeci wyraz left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis jest ujemny, a trzeci wyraz należy włączyć do drugiej grupy razem z jego znakiem.
Znak stojący przed drugą grupą to delikatna sprawa, którą warto dobrze zrozumieć. Na przykład, częsty błąd polega na tym, że ktoś rozkłada wielomian 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 na grupy w taki sposób left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Ten rozkład można z powrotem uprościć do 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, a to nie jest to samo wyrażenie, co początkowy wielomian.
Dlaczego wyciągnęliśmy przed nawias minus, 4 a nie 4?
W start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd kroku, wyciągnęliśmy przed nawias minus, 4 i w ten sposób ujawnił się czynnik left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, wspólny dla obu grup wyrazów. Gdybyśmy zamiast tego wyciągnęli przed nawias dodatnią liczbę 4, trudniej byłoby nam zauważyć, że obie grupy wyrazów zawierają ten sam czynnik:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Taka sytuacja zdarza się często, gdy jeden z wyrazów w danej grupie ma ujemny współczynnik. Wtedy na ogół warto wyciągnąć przed nawias liczbę ujemną.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Rozłóż na czynniki 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Rozłóż na czynniki 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) Rozłóż na czynniki 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.

Wyzwanie

7*) Rozłóż na czynniki 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.

Kiedy możemy wykorzystać metodę grupowania?

Metoda grupowania zadziała wtedy, gdy okażę się że istnieje wspólny czynnik dla obu grup wyrazów.
Na przykład, możemy wykorzystać metodę grupowania by rozłożyć na czynniki wielomian 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6, ponieważ można go zapisać jako:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Metoda grupowania nie pomoże nam natomiast w rozłożeniu na czynniki wielomianu 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12, ponieważ wyciągnięcie przed nawias największego wspólnego podzielnika obu grup wyrazów nie prowadzi do pojawienia się wspólnego czynnika!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Metoda grupowania i rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki

Metodę grupowania można czasem wykorzystać do rozkładu na czynniki pierwsze trójmianu kwadratowego, takiego jak 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. W tym przypadku możemy rozpisać trójmian kwadratowy jako:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Następnie grupujemy wyrazy 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3, aby otrzymać left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Więcej informacji na temat rozkładania trójmianów kwadratowych za pomocą metody grupowania znajdziesz w następnym artykule.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.