If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Rozłóż równania kwadratowe: współczynnik wiodący ≠ 1

Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Co musisz wiedzieć, zanim zaczniesz tą lekcję

Metody grupowania można użyć do rozkładania wielomianów mających 4 wyrazy wyłączając wspólne czynniki wielokrotnie. Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zajrzy do naszego artykułu Wprowadzenie do rozkładu przez grupowanie.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule nauczymy się rozkładania za pomocą grupowania dla równań ze współczynnikiem przy najwyższej potędze innym niż 1, na przykład 2x2+7x+3.

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki 2x2+7x+3

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze (2x2+7x+3) to 2, nie możemy użyć metody sumy-iloczynu żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.
Zamiast tego żeby rozłożyć 2x2+7x+3, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn wynosi 23=6 (współczynnik przy najwyższej potędze razy wyraz wolny), a suma wynosi 7 (współczynnik przy x).
Ponieważ 16=6 i 1+6=7, te dwie liczby to 1 i 6.
Te dwie liczby mówią nam, w jaki sposób rozbić wyraz x w pierwotnym wyrażeniu. Możemy więc zapisać nasz wielomian jako 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Teraz możemy użyć grupowania żeby rozłożyć wielomian:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Pogrupuj wyrazy=x(2x+1)+3(2x+1)Wyłącz NWD=x(2x+1)+3(2x+1)Wspólny czynnik!=(2x+1)(x+3)Wyłącz 2x+1
Postać iloczynowa to (2x+1)(x+3).
Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do 2x2+7x+3.

Podsumowanie

Ogólnie rzecz biorąc, możemy użyć następujących kroków, żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe w postaci ax2+bx+c:
  1. Zacznij od znalezienia dwóch liczb, których iloczyn będzie wynosił ac a suma będzie wynosiła b.
  2. Użyj tych liczb żeby rozbić wyraz z x.
  3. Użyj grupowania żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż 3x2+10x+8.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki 4x2+16x+15.

Przykład 2: Rozkład na czynniki 6x25x4

Żeby rozłożyć 6x25x4, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił 6(4)=24, a suma 5.
Ponieważ 3(8)=24 i 3+(8)=5, te liczby to 3 i 8.
Zapisujemy teraz wyraz 5x jako sumę 3x i 8x a potem używamy grupowania do rozłożenia wielomianu:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Pogrupuj wyrazy(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Wyłącz NWD(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Uprość(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Wspólny czynnik!(5)=(2x+1)(3x4)Wyłącz 2x+1
Postać iloczynowa to (2x+1)(3x4).
Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do 6x25x4.
Zwróć uwagę: W kroku (1) powyżej, z powodu tego że trzeci wyraz jest ujemy, "+" został wstawiony pomiędzy pogrupowane wyrazy żeby wyrażenie było ciągle równe oryginalnemu wyrażeniu. W kroku (2) musieliśmy wyłączyć ujemny NWD z drugiej grupy żeby uzyskać wspólny czynnik 2x+1. Uważaj na znaki!

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozłóż na czynniki 2x23x9.
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Rozłóż na czynniki 3x22x5.

5) Rozłóż na czynniki 6x213x+6.

Kiedy ta metoda działa?

No więc jest jasne, że metoda jest użyteczna do rozkładania trójmianów w postaci ax2+bx+c, nawet jeśli a1.
Jednakże nie zawsze możliwe jest rozłożenie wyrażenia kwadratowego w tej postaci używając naszej metody.
Weźmy na przykład wyrażenie 2x2+2x+1. Żeby je rozłożyć, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił 21=2 i suma będzie wynosiła 2. Próbuj ile chcesz, ale nie znajdziesz dwóch takich liczb.
Tak więc nasza metoda nie działa dla 2x2+2x+1, oraz dla wielu innych wyrażeń kwadratowych.
Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), gdzie A, B, C i D są liczbami całkowitymi.

Dlaczego ta metoda działa?

Spróbujmy zrozumieć, dlaczego ta metoda ogólnie działa. Będziemy musieli użyć trochę liter, ale nie zrażaj się tym!
Załóżmy, że ogólne wyrażenie kwadratowe ax2+bx+c można rozłożyć do postaci (Ax+B)(Cx+D) z liczbami całkowitymi A, B, C i D.
Kiedy rozwiniemy nawiasy, otrzymamy wyrażenie kwadratowe (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Ponieważ jest to wyrażenie równoważne wyrażeniu ax2+bx+c, odpowiadające sobie współczynniki w tych dwóch wyrażeniach muszą być równe! To nam daje następujący związek pomiędzy wszystkimi nieznanymi literami:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Zdefiniujmy teraz m=BC i n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Zgodnie z tą definicją...
m+n=BC+AD=b
i
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
Tak więc BC i AD to dwie liczby całkowite, których zawsze szukamy, jeśli używamy tej metody rozkładu na czynniki!
Następnym krokiem w tej metodzie, po znalezieniu m i n, jest podzielenie współczynnika przy x (b) zgodnie z m i n przy użyciu grupowania.
I rzeczywiście, jeśli podzielimy współczynnik przy x, czyli (BC+AD)x, na (BC)x+(AD)x, to będziemy mogli pogrupować nasze wyrażenie na (Ax+B)(Cx+D).
Podsumowując, w tej części...
  • zaczęliśmy od ogólnego wyrażenia ax2+bx+c i jego ogólnego rozkładu (Ax+B)(Cx+D),
  • znaleźliśmy dwie liczby, m i n, dla których mn=ac, a m+n=b (zrobiliśmy to definiując m=BC i n=AD),
  • podzieliliśmy wyraz z x, bx, na mx+nx, i rozłożyliśmy wyrażenie do postaci (Ax+B)(Cx+D).
Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład.
Dzięki za wytrwałość!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

  • Awatar blobby green style dla użytkownika seraf thin
    Czy dobrze mi się wydaje, że te dwa paragrafy są sprzeczne?

    "Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), gdzie A, B, C i D są liczbami całkowitymi."

    "Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład."
    (2 głosy)
    Awatar Default Khan Academy avatar dla użytkownika
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.