Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 15: Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania

Rozłóż równania kwadratowe: współczynnik wiodący ≠ 1

Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Co musisz wiedzieć, zanim zaczniesz tą lekcję

Metody grupowania można użyć do rozkładania wielomianów mających

4

wyrazy wyłączając wspólne czynniki wielokrotnie. Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zajrzy do naszego artykułu Wprowadzenie do rozkładu przez grupowanie.

Zalecamy też przypomnienie sobie artykułu rozkład na czynniki wyrażeń kwadratowych ze współczynnikiem przy najwyższej potędze równym 1 zanim zaczniesz.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule nauczymy się rozkładania za pomocą grupowania dla równań ze współczynnikiem przy najwyższej potędze innym niż

1

, na przykład

2 x^{2} + 7 x + 3

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze

(2 x^{2} + 7 x + 3)

2

, nie możemy użyć metody sumy-iloczynu żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.

Zamiast tego żeby rozłożyć

2 x^{2} + 7 x + 3

, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn wynosi

2 \cdot 3 = 6

(współczynnik przy najwyższej potędze razy wyraz wolny), a suma wynosi

7

(współczynnik przy

x

Ponieważ

1 \cdot 6 = 6

1 + 6 = 7

, te dwie liczby to

1

6

[Jak znaleźliśmy te liczby?]

Te dwie liczby mówią nam, w jaki sposób rozbić wyraz

x

w pierwotnym wyrażeniu. Możemy więc zapisać nasz wielomian jako

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Teraz możemy użyć grupowania żeby rozłożyć wielomian:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Pogrupuj wyrazy \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Wyłącz NWD \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Wspólny czynnik! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Wyłącz 2 x + 1 \end{aligned}

Postać iloczynowa to

(2 x + 1) (x + 3)

[A co jeśli pogrupujemy wielomian w innej kolejności?]

Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do

2 x^{2} + 7 x + 3

[Chciałbym to zobaczyć, proszę!]

Podsumowanie

Ogólnie rzecz biorąc, możemy użyć następujących kroków, żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe w postaci

a x^{2} + b x + c

Zacznij od znalezienia dwóch liczb, których iloczyn będzie wynosił $a c$ ‍ a suma będzie wynosiła $b$ ‍.
Użyj tych liczb żeby rozbić wyraz z $x$ ‍.
Użyj grupowania żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

2) Rozłóż na czynniki $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Przykład 2: Rozkład na czynniki $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

Żeby rozłożyć

6 x^{2} - 5 x - 4

, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił

6 \cdot (- 4) = - 24

, a suma

- 5

Ponieważ

3 \cdot (- 8) = - 24

3 + (- 8) = - 5

, te liczby to

3

- 8

[Jak mogę znaleźć te liczby?]

Zapisujemy teraz wyraz

- 5 x

jako sumę

3 x

- 8 x

a potem używamy grupowania do rozłożenia wielomianu:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Pogrupuj wyrazy \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Wyłącz NWD \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Uprość \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Wspólny czynnik! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Wyłącz 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Postać iloczynowa to

(2 x + 1) (3 x - 4)

Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do

6 x^{2} - 5 x - 4

[Chciałbym to zobaczyć, proszę!]

Zwróć uwagę: W kroku

(1)

powyżej, z powodu tego że trzeci wyraz jest ujemy, "+" został wstawiony pomiędzy pogrupowane wyrazy żeby wyrażenie było ciągle równe oryginalnemu wyrażeniu. W kroku

(2)

musieliśmy wyłączyć ujemny NWD z drugiej grupy żeby uzyskać wspólny czynnik

2 x + 1

. Uważaj na znaki!

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozłóż na czynniki $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

4) Rozłóż na czynniki $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

5) Rozłóż na czynniki $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Kiedy ta metoda działa?

No więc jest jasne, że metoda jest użyteczna do rozkładania trójmianów w postaci

a x^{2} + b x + c

, nawet jeśli

a \neq 1

Jednakże nie zawsze możliwe jest rozłożenie wyrażenia kwadratowego w tej postaci używając naszej metody.

Weźmy na przykład wyrażenie

2 x^{2} + 2 x + 1

. Żeby je rozłożyć, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił

2 \cdot 1 = 2

i suma będzie wynosiła

2

. Próbuj ile chcesz, ale nie znajdziesz dwóch takich liczb.

Tak więc nasza metoda nie działa dla

2 x^{2} + 2 x + 1

, oraz dla wielu innych wyrażeń kwadratowych.

Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci

(A x + B) (C x + D)

, gdzie

A

B

C

D

są liczbami całkowitymi.

Dlaczego ta metoda działa?

Spróbujmy zrozumieć, dlaczego ta metoda ogólnie działa. Będziemy musieli użyć trochę liter, ale nie zrażaj się tym!

Załóżmy, że ogólne wyrażenie kwadratowe

a x^{2} + b x + c

można rozłożyć do postaci

(A x + B) (C x + D)

z liczbami całkowitymi

A

B

C

D

Kiedy rozwiniemy nawiasy, otrzymamy wyrażenie kwadratowe

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[Chcę zobaczyć cały proces rozwijania!]

Ponieważ jest to wyrażenie równoważne wyrażeniu

a x^{2} + b x + c

, odpowiadające sobie współczynniki w tych dwóch wyrażeniach muszą być równe! To nam daje następujący związek pomiędzy wszystkimi nieznanymi literami:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Zdefiniujmy teraz

m = B C

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Zgodnie z tą definicją...

m + n = B C + A D = b

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

Tak więc

B C

A D

to dwie liczby całkowite, których zawsze szukamy, jeśli używamy tej metody rozkładu na czynniki!

Następnym krokiem w tej metodzie, po znalezieniu

m

n

, jest podzielenie współczynnika przy

x

(b)

zgodnie z

m

n

przy użyciu grupowania.

I rzeczywiście, jeśli podzielimy współczynnik przy

x

, czyli

(B C + A D) x

, na

(B C) x + (A D) x

, to będziemy mogli pogrupować nasze wyrażenie na

(A x + B) (C x + D)

[Chciałbym to zobaczyć, proszę!]

Podsumowując, w tej części...

zaczęliśmy od ogólnego wyrażenia $a x^{2} + b x + c$ ‍ i jego ogólnego rozkładu $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
znaleźliśmy dwie liczby, $m$ ‍ i $n$ ‍, dla których $m n = a c$ ‍, a $m + n = b$ ‍ $($ ‍zrobiliśmy to definiując $m = B C$ ‍ i $n = A D)$ ‍,
podzieliliśmy wyraz z $x$ ‍, $b x$ ‍, na $m x + n x$ ‍, i rozłożyliśmy wyrażenie do postaci $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci

(A x + B) (C x + D)

, to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład.

Dzięki za wytrwałość!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

seraf thin
Opublikowane rok temu. Odnosi się do postu seraf thin's o treści “Czy dobrze mi się wydaje,...”
Czy dobrze mi się wydaje, że te dwa paragrafy są sprzeczne?

"Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), gdzie A, B, C i D są liczbami całkowitymi."

"Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład."
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(2 głosy)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Co musisz wiedzieć, zanim zaczniesz tą lekcję

Czego nauczysz się w tej lekcji

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki 2x2+7x+3‍

Podsumowanie

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: Rozkład na czynniki 6x2−5x−4‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Kiedy ta metoda działa?

Dlaczego ta metoda działa?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Przykład 2: Rozkład na czynniki $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍