If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 15: Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozłóż równania kwadratowe: współczynnik wiodący ≠ 1

Google Classroom
Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Co musisz wiedzieć, zanim zaczniesz tą lekcję

Metody grupowania można użyć do rozkładania wielomianów mających 4 wyrazy wyłączając wspólne czynniki wielokrotnie. Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zajrzy do naszego artykułu Wprowadzenie do rozkładu przez grupowanie.
Zalecamy też przypomnienie sobie artykułu rozkład na czynniki wyrażeń kwadratowych ze współczynnikiem przy najwyższej potędze równym 1 zanim zaczniesz.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule nauczymy się rozkładania za pomocą grupowania dla równań ze współczynnikiem przy najwyższej potędze innym niż 1, na przykład 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis to start color #11accd, 2, end color #11accd, nie możemy użyć metody sumy-iloczynu żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.
Zamiast tego żeby rozłożyć start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn wynosi start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (współczynnik przy najwyższej potędze razy wyraz wolny), a suma wynosi start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (współczynnik przy x).
Ponieważ start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 i start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, te dwie liczby to start color #01a995, 1, end color #01a995 i start color #01a995, 6, end color #01a995.
Te dwie liczby mówią nam, w jaki sposób rozbić wyraz x w pierwotnym wyrażeniu. Możemy więc zapisać nasz wielomian jako 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Teraz możemy użyć grupowania żeby rozłożyć wielomian:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Pogrupuj wyrazy=x(2x+1)+3(2x+1)Wyłącz NWD=x(2x+1)+3(2x+1)Wspoˊlny czynnik!=(2x+1)(x+3)Wyłącz 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Pogrupuj wyrazy}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Wyłącz NWD}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Wspólny czynnik!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Wyłącz } 2x+1}} \end{aligned}
Postać iloczynowa to left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Podsumowanie

Ogólnie rzecz biorąc, możemy użyć następujących kroków, żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe w postaci start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Zacznij od znalezienia dwóch liczb, których iloczyn będzie wynosił start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff a suma będzie wynosiła start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Użyj tych liczb żeby rozbić wyraz z x.
  3. Użyj grupowania żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Przykład 2: Rozkład na czynniki 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

Żeby rozłożyć start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24, a suma start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Ponieważ start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 i start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, te liczby to start color #01a995, 3, end color #01a995 i start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Zapisujemy teraz wyraz minus, 5, x jako sumę start color #01a995, 3, end color #01a995, x i start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x a potem używamy grupowania do rozłożenia wielomianu:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Pogrupuj wyrazy(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Wyłącz NWD(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Uprosˊcˊ(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Wspoˊlny czynnik!(5)=(2x+1)(3x−4)Wyłącz 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Pogrupuj wyrazy}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Wyłącz NWD}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Wspólny czynnik!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Wyłącz } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Postać iloczynowa to left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Zwróć uwagę: W kroku start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd powyżej, z powodu tego że trzeci wyraz jest ujemy, "+" został wstawiony pomiędzy pogrupowane wyrazy żeby wyrażenie było ciągle równe oryginalnemu wyrażeniu. W kroku start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd musieliśmy wyłączyć ujemny NWD z drugiej grupy żeby uzyskać wspólny czynnik 2, x, plus, 1. Uważaj na znaki!

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozłóż na czynniki 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Rozłóż na czynniki 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Rozłóż na czynniki 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Kiedy ta metoda działa?

No więc jest jasne, że metoda jest użyteczna do rozkładania trójmianów w postaci a, x, squared, plus, b, x, plus, c, nawet jeśli a, does not equal, 1.
Jednakże nie zawsze możliwe jest rozłożenie wyrażenia kwadratowego w tej postaci używając naszej metody.
Weźmy na przykład wyrażenie start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Żeby je rozłożyć, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 i suma będzie wynosiła start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Próbuj ile chcesz, ale nie znajdziesz dwóch takich liczb.
Tak więc nasza metoda nie działa dla start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff, oraz dla wielu innych wyrażeń kwadratowych.
Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, gdzie A, B, C i D są liczbami całkowitymi.

Dlaczego ta metoda działa?

Spróbujmy zrozumieć, dlaczego ta metoda ogólnie działa. Będziemy musieli użyć trochę liter, ale nie zrażaj się tym!
Załóżmy, że ogólne wyrażenie kwadratowe a, x, squared, plus, b, x, plus, c można rozłożyć do postaci left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis z liczbami całkowitymi A, B, C i D.
Kiedy rozwiniemy nawiasy, otrzymamy wyrażenie kwadratowe left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Ponieważ jest to wyrażenie równoważne wyrażeniu a, x, squared, plus, b, x, plus, c, odpowiadające sobie współczynniki w tych dwóch wyrażeniach muszą być równe! To nam daje następujący związek pomiędzy wszystkimi nieznanymi literami:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Zdefiniujmy teraz m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 i n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Zgodnie z tą definicją...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
i
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
Tak więc start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 i start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff to dwie liczby całkowite, których zawsze szukamy, jeśli używamy tej metody rozkładu na czynniki!
Następnym krokiem w tej metodzie, po znalezieniu m i n, jest podzielenie współczynnika przy x left parenthesis, b, right parenthesis zgodnie z m i n przy użyciu grupowania.
I rzeczywiście, jeśli podzielimy współczynnik przy x, czyli left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, na left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, to będziemy mogli pogrupować nasze wyrażenie na left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
Podsumowując, w tej części...
  • zaczęliśmy od ogólnego wyrażenia a, x, squared, plus, b, x, plus, c i jego ogólnego rozkładu left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • znaleźliśmy dwie liczby, m i n, dla których m, n, equals, a, c, a m, plus, n, equals, b left parenthesiszrobiliśmy to definiując m, equals, B, C i n, equals, A, D, right parenthesis,
  • podzieliliśmy wyraz z x, b, x, na m, x, plus, n, x, i rozłożyliśmy wyrażenie do postaci left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład.
Dzięki za wytrwałość!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
  • Awatar blobby green style dla użytkownika seraf thin
    Opublikowane 5 miesięcy temu. Odnosi się do postu seraf thin's o treści “Czy dobrze mi się wydaje,...”
    Czy dobrze mi się wydaje, że te dwa paragrafy są sprzeczne?

    "Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), gdzie A, B, C i D są liczbami całkowitymi."

    "Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład."
    (2 głosy)
    Awatar Default Khan Academy avatar dla użytkownika
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.