If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia

Naucz się jak rozłożyć wyrażenie kwadratowe, które ma postać "idealnego kwadratu". Na przykład, zapisz x²+6x+9 jako (x+3)².
Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.
W tym artykule nauczysz się w jaki sposób rozkładać na czynniki idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Odwracają one proces podnoszenia dwumianu do kwadratu, więc powinieneś zrozumieć ten proces zanim przejdziesz do dalszej części artykułu.

Wprowadzenie: Rozkładanie na czynniki idealnie kwadratowych trójmianów

Żeby rozwinąć kwadrat dowolnego dwumianu, możemy zastosować jeden z następujących wzorów.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Zauważ że w tych wzorach a i b mogą być dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Załóżmy na przykład, że chcemy rozwinąć (x+5)2. W tym przypadu, a=x i b=5, więc otrzymujemy:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
Możesz sprawdzić ten wzór za pomocą mnożenia przy rozwijaniu (x+5)2.
Odwrotność tego procesu rozwijania ma postać rozkładu na czynniki. Jeśli zapiszemy równania w odwrotnej kolejności, otrzymamy wzory, które pomagają znaleźć rozkład na czynniki wielomianów w postaci a2±2ab+b2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
Możemy zastosować pierwszy wzór do znalezienia rozkładu x2+10x+25. Mamy więc a=x i b=5.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
Wyrażenia w tej postaci czasami nazywamy idealnie kwadratowymi trójmianami. Nazwa odzwierciedla informację, że taki trójmian jest równy kwadratowi dwumianu!
Spójrzmy na kilka przykładów, w których najpierw rozkładamy idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu tego wzoru.

Przykład 1: Rozkład na czynniki x2+8x+16

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami: x2=(x)2 i 16=(4)2. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu: 2(x)(4)=8x.
Widzimy więc, że ten wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem, to znaczy że jest równy kwadratowi pewnego dwumianu, a więc możemy użyć następującego schematu:
a2+2ab+b2 =(a+b)2
W tym przypadku, a=x i b=4. Możemy rozłożyć wielomian na czynniki w ten sposób:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
Sprawdzamy naszą pracę rozwijając (x+4)2:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki x2+6x+9.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki x26x+9.
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Rozłóż na czynniki x2+14x+49.

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki 4x2+12x+9

Nie jest wcale konieczne, żeby współczynniki przy wyrazie z najwyższą potęgą w idealnie kwadratowym trójmianie wynosił 1.
Na przykład w 4x2+12x+9 pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami: 4x2=(2x)2 i 9=(3)2. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu: 2(2x)(3)=12x.
Ponieważ spełnia powyższe warunki, 4x2+12x+9 również jest idealnie kwadratowym trójmianem. Znowu możemy zastosować następujący schemat szukania rozkładu.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
W tym przypadku, a=2x, a b=3. Wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Możemy sprawdzić nasze obliczenia rozwijajac (2x+3)2.

Sprawdź swoje zrozumienie

4) Rozłóż na czynniki 9x2+30x+25.
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Rozłóż na czynniki 4x220x+25.

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Rozłóż na czynniki x4+2x2+1.

7*) Rozłóż na czynniki 9x2+24xy+16y2.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.