If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 18: Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia

Google Classroom
Naucz się jak rozłożyć wyrażenie kwadratowe, które ma postać "idealnego kwadratu". Na przykład, zapisz x²+6x+9 jako (x+3)².
Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.
W tym artykule nauczysz się w jaki sposób rozkładać na czynniki idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Odwracają one proces podnoszenia dwumianu do kwadratu, więc powinieneś zrozumieć ten proces zanim przejdziesz do dalszej części artykułu.

Wprowadzenie: Rozkładanie na czynniki idealnie kwadratowych trójmianów

Żeby rozwinąć kwadrat dowolnego dwumianu, możemy zastosować jeden z następujących wzorów.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Zauważ że w tych wzorach a i b mogą być dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Załóżmy na przykład, że chcemy rozwinąć left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. W tym przypadu, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd i start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, więc otrzymujemy:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Możesz sprawdzić ten wzór za pomocą mnożenia przy rozwijaniu left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
Odwrotność tego procesu rozwijania ma postać rozkładu na czynniki. Jeśli zapiszemy równania w odwrotnej kolejności, otrzymamy wzory, które pomagają znaleźć rozkład na czynniki wielomianów w postaci a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Możemy zastosować pierwszy wzór do znalezienia rozkładu x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Mamy więc start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd i start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Wyrażenia w tej postaci czasami nazywamy idealnie kwadratowymi trójmianami. Nazwa odzwierciedla informację, że taki trójmian jest równy kwadratowi dwumianu!
Spójrzmy na kilka przykładów, w których najpierw rozkładamy idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu tego wzoru.

Przykład 1: Rozkład na czynniki x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared i 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Widzimy więc, że ten wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem, to znaczy że jest równy kwadratowi pewnego dwumianu, a więc możemy użyć następującego schematu:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
W tym przypadku, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd i start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Możemy rozłożyć wielomian na czynniki w ten sposób:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Sprawdzamy naszą pracę rozwijając left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Rozłóż na czynniki x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Nie jest wcale konieczne, żeby współczynniki przy wyrazie z najwyższą potęgą w idealnie kwadratowym trójmianie wynosił 1.
Na przykład w 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared i 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Ponieważ spełnia powyższe warunki, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 również jest idealnie kwadratowym trójmianem. Znowu możemy zastosować następujący schemat szukania rozkładu.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
W tym przypadku, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Możemy sprawdzić nasze obliczenia rozwijajac left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Sprawdź swoje zrozumienie

4) Rozłóż na czynniki 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Rozłóż na czynniki 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Rozłóż na czynniki x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Rozłóż na czynniki 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.