Główna zawartość
Algebra (cały materiał)
Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10
Lekcja 18: Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia- Wprowadzanie do rozkładania pełnych kwadratów na czynniki
- Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia
- Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
- Przykład - rozkład trójmianu będącego kwadratem dwumianu
- Rozpoznawanie kwadratu dwumianu w trójmianie kwadratowym
- Rozkład na czynniki wielomianów wyższego stopnia: wspólny czynnik
- Przykład - rozkład na czynniki w szczególnych przypadkach
- Rozkładanie wyrażeń kwadratowych: brakujące wartości
- Wspólny czynnik kwadratu dwumianu i różnicy kwadratów
- Wzory skróconego mnożenia - kwadrat sumy i kwadrat różnicy
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: wzory skróconego mnożenia
Naucz się jak rozłożyć wyrażenie kwadratowe, które ma postać "idealnego kwadratu". Na przykład, zapisz x²+6x+9 jako (x+3)².
Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.
W tym artykule nauczysz się w jaki sposób rozkładać na czynniki idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Odwracają one proces podnoszenia dwumianu do kwadratu, więc powinieneś zrozumieć ten proces zanim przejdziesz do dalszej części artykułu.
Wprowadzenie: Rozkładanie na czynniki idealnie kwadratowych trójmianów
Żeby rozwinąć kwadrat dowolnego dwumianu, możemy zastosować jeden z następujących wzorów.
- left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
- left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Zauważ że w tych wzorach a i b mogą być dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Załóżmy na przykład, że chcemy rozwinąć left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. W tym przypadu, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd i start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, więc otrzymujemy:
Możesz sprawdzić ten wzór za pomocą mnożenia przy rozwijaniu left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
Odwrotność tego procesu rozwijania ma postać rozkładu na czynniki. Jeśli zapiszemy równania w odwrotnej kolejności, otrzymamy wzory, które pomagają znaleźć rozkład na czynniki wielomianów w postaci a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
- start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
- start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Możemy zastosować pierwszy wzór do znalezienia rozkładu x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Mamy więc start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd i start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
Wyrażenia w tej postaci czasami nazywamy idealnie kwadratowymi trójmianami. Nazwa odzwierciedla informację, że taki trójmian jest równy kwadratowi dwumianu!
Spójrzmy na kilka przykładów, w których najpierw rozkładamy idealnie kwadratowe trójmiany przy użyciu tego wzoru.
Przykład 1: Rozkład na czynniki x, squared, plus, 8, x, plus, 16
Zauważ, że zarówno pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared i 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Widzimy więc, że ten wielomian jest idealnie kwadratowym trójmianem, to znaczy że jest równy kwadratowi pewnego dwumianu, a więc możemy użyć następującego schematu:
W tym przypadku, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd i start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Możemy rozłożyć wielomian na czynniki w ten sposób:
Sprawdzamy naszą pracę rozwijając left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
Sprawdź, czy rozumiesz
Przykład 2: Rozkładanie na czynniki 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9
Nie jest wcale konieczne, żeby współczynniki przy wyrazie z najwyższą potęgą w idealnie kwadratowym trójmianie wynosił 1.
Na przykład w 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 pierwszy, jak i ostatni wyraz są idealnymi kwadratami: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared i 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Zauważ również, że środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które zostały podniesione do kwadratu: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Ponieważ spełnia powyższe warunki, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 również jest idealnie kwadratowym trójmianem. Znowu możemy zastosować następujący schemat szukania rozkładu.
W tym przypadku, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:
Możemy sprawdzić nasze obliczenia rozwijajac left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.
Sprawdź swoje zrozumienie
Ćwiczenia sprawdzające
Chcesz dołączyć do dyskusji?
- W 7 zadaniu nie ma możliwości podniesienia do kwadratu w odpowiedzi i trzeba zapisywać wynik w postaci iloczynu dwumianów (a+b)(b+a)(1 głos)