If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 35: Wykresy wielomianów
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Wykresy wielomianów
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wykresy wielomianów

Google Classroom
Przeanalizuj wielomiany żeby naszkicować ich wykres.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Zachowanie końcowe funkcji f przedstawia zachowanie jej wykresu na "końcach" osi O, X. Algebraicznie, zachowanie asymptotyczne zależy od odpowiedzi na następujące dwa pytania:
  • Gdy x, right arrow, plus, infinity, jaką wartość osiąga f, left parenthesis, x, right parenthesis?
  • Gdy x, right arrow, minus, infinity, jaką wartość osiąga f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy abyś przeczytał nasz artykuł na temat zachowania końcowego wykresów wielomianów.
MIejsca zerowe funkcji f odpowiadają przecięciom jej wykresu z osią O, X. Jeśli f ma miejsce zerowe o nieparzystej krotności, jej wykres przetnie oś X-ów dla tego argumentu x. Jeśli f ma miejsce zerowe o parzystej krotności, jej wykres dotknie oś X-ów w tym punkcie.
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji zastosujemy powyższe cechy, aby przeanalizować i narysować wykresy wielomianów. Następnie wykorzystamy wykresy, aby znaleźć dodatnie i ujemne przedziały wielomianów.

Badanie funkcji wielomianowych

Przeanalizujemy teraz parę cech wykresu wielomianu f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Znalezienie przecięcia z osią O, Y

Aby znaleźć miejsce przecięcia z osią O, Y wykresu f, możemy znaleźć f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(0)=(3(0)−2)(0+2)2f(0)=(−2)(4)f(0)=−8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
Punkt przecięcia z osią O, Y dla y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis to left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

Znalezienie przecięcia z osią O, X

Aby znaleźć miejsce przecięcia z osią O, X, możemy rozwiązać równanie f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x−2)(x+2)20=(3x−2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
↙↘3x−2=0lubx+2=0 Iloczyn wynosi zero!x=23lubx=−2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{lub}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{ Iloczyn wynosi zero!}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{lub}\qquad x&=-2\end{aligned}
Punkty przecięcia z osią O, X wykresu y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis to left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis i left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Nasze obliczenia wskazują także, że start fraction, 2, divided by, 3, end fraction jest miejscem zerowym o krotności równej 1 i minus, 2 jest miejscem zerowym o krotności równej 2. To znaczy, że wykres funkcji przetnie oś X-ów w left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis i dotknie osi X-ów w left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Znalezienie zachowania końcowego

Aby znaleźć zachowanie asymptotyczne funkcji, możemy zbadać jej wyraz wiodący, jeśli funkcja ta jest zapisana w postaci standardowej.
Napiszmy równanie w formie standardowej
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(x)=(3x−2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x−2x2−8x−8f(x)=3x3+10x2+4x−8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
Wyraz wiodący wielomianu to start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10 zachowanie asymptotyczne funkcji f będzie takie same jak zachowanie asymptotyczne 3, x, cubed.
Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i wyraz wiodący jest dodatni, zachowanie asymptotyczne będzie równe: gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity i gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Rysowanie wykresu

Możemy wykorzystać to czego się nauczyliśmy powyżej, aby narysować wykres y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Zacznijmy od zachowania końcowego:
  • Gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
  • Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Oznacza to, że na "końcach" wykres funkcji będzie wyglądał jak y, equals, x, cubed.
Teraz możemy dołączyć to co wiemy na temat przecięcia z osią O, X:
  • Wykres funkcji dotyka oś X-ów w punkcie left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, ponieważ minus, 2 jest miejscem zerowym o parzystej krotności.
  • Wykres przecina oś X-ów w punkcie left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, ponieważ start fraction, 2, divided by, 3, end fraction jest miejscem zerowym o nieparzystej krotności.
Wreszcie, możemy narysować przecięcie z osią O, Y w punkcie left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis i wypełnienie luk za pomocą ciągłej, płynnej krzywej.
Chociaż nie wiemy dokładnie gdzie są punkty zwrotne funkcji, uzyskujemy dobry, ogólny obraz kształtu naszej funkcji!

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna

Teraz jak mamy naszkicowany wykres f, łatwo jest stwierdzić dla których przedziałów f jest dodatnia i dla których przedziałów jest ujemna.
Widzimy, że f jest dodatnia kiedy x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction i ujemna kiedy x, is less than, minus, 2 lub minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Teraz sam krok po kroku naszkicujesz wykres g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.
a) Jaki jest punkt przecięcia z osią O, Y wykresu funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
left parenthesis, 0,
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) Jakie jest zachowanie asymptotyczne wykresu funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:

c) Jakie są przecięcia z osią O, X wykresu funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:

d) Które z poniższych może przedstawiać wykres funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Które z poniższych może przedstawiać wykres y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.